Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция 7

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
597.9 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 7

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ

НГАСУ, 2015 г.

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Основное свойство уравнений гиперболического типа – наличие полного набора вещественных характеристик.

Характеристики: направления, вдоль которых уравнение можно проинтегрировать

Примеры уравнений гиперболического типа:

линейное уравнение переноса (адвекции)

u

C

u

0,

u u(x, t),

C const;

t

 

x

 

 

 

квазилинейное уравнение (закон сохранения)

 

u

 

(u)

0;

 

t

 

 

x

 

 

2u

c2

2u

0,

волновое уравнение

t2

x2

 

 

 

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА

dx C

Характеристики: прямые dt

Запишем производную от решения по характеристическому направлению:

t

t*

x

x x0*

 

x*

 

 

 

 

 

du(x(t),t)

dt

dx C dt

 

u dx

 

u

 

u C

u

0

 

 

 

 

x dt

t

t

 

 

 

x

 

Вдоль данного направления решение уравнения не изменяется. т.е. решение уравнения «переносится вдоль характеристик».

 

 

ЗАДАЧА КОШИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x, 0) (x),

 

 

 

 

 

Начальные

данные

 

t

 

(x*, t)*

нужно найти решение

в

точке

 

 

 

 

 

 

 

x

(x* , t* ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0 ,

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

точку на

прямой

в которую

 

приходит

«выпущенная» из точки

(x* , t* )

характеристика:

 

x x0*

Решение

сохраняется

вдоль

характеристик,

 

 

поэтому

u(x*, t* ) (x0* )

Если начальные данные заданы на всей прямой t = 0, то характеристика, выпущенная из любой точки полуплоскости (x, t), t > 0, пересечет линию t = 0.

Решение: u(x, t) (x Ct) .

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Начальные данные заданы в ограниченной области: 0 x L Требуется определить решение при t T.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выпустим

характеристики

t=T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t=T

 

 

 

 

 

 

 

из каждой

точки отрезка

 

 

 

 

С < 0

 

 

 

 

 

 

С > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[0, L]. В

зависимости от

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

знака С они закроют

 

 

 

 

L

 

L

 

 

 

 

 

 

правую или левую часть прямоугольника [0 t T ] [0 x L] Для того, чтобы определить решение во всем прямоугольнике, необходимо задать краевые условия.

Если С > 0, краевые условия должны быть заданы при x = 0, если С < 0 – при x = L.

На каждой границе области решения необходимо задать столько условий, сколько семейств характеристик уходит с этой границы.

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Для аппроксимации производной по пространству используем формулы: разность вперед, разность назад или центральная разность. При выборе формулы необходимо учитывать направление потока – знак С. При С > 0 поток направлен слева направо, при С < 0 – справа налево. Пусть С > 0.

Явная схема «против потока»:

un 1

un

 

un un

 

j

j

C

j

j 1

0.

 

 

h

 

 

 

 

 

 

un 1

un

C

 

un un

 

(1 r)un run

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

j

h

j

 

j 1

 

j

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = Сτ/h – число Куранта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

n+1

 

x

*

t

 

x*

 

 

 

 

t

 

 

x*

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

tn

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

xj–1

 

xj

 

 

xj–1

xj

 

 

 

 

 

 

 

xj–1

xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r<1

r=1

r>1

УСТОЙЧИВОСТЬ СХЕМЫ

Метод Фурье: гармоника unj neij . Подставим в разностную схему:

(1 r) re i (1 r) r(cos i sin ) .

Окружность радиуса r с центром в точке (1 – r, 0)

y

 

 

 

 

r

1 – 2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 – r

 

 

 

y

y

 

 

r = 1

r

 

1

1

x

 

x

x

1 – r

1

 

r < 1

r = 1

r > 1

При r 1 разностная схема устойчива При r > 1 - неустойчива

УСТОЙЧИВОСТЬ СХЕМЫ

Аналитические исследования

(1 r) re i (1 r) r(cos i sin )

1 r(1 cos ) ir sin 1 2r sin 2 ir sin . 2

Оценим модуль комплексного числа ρ :

 

 

 

2

 

1 4r sin 2

4r 2 sin 4

r 2 sin 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4r sin

2

4r 2 sin 4

4r 2 sin 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

2

 

1 4r sin

2

 

4r 2 sin 2

 

1,

4r sin 2

4r 2 sin 2

0,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

2

 

4r sin 2

(1 r) 0,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что справедливо при r 1 (условие Куранта).

ЯВНАЯ СХЕМА «ПО ПОТОКУ»:

unj

1 unj

C

unj 1

unj

0

un 1

un

C

un

un (1 r)un

 

 

 

 

 

 

 

 

h

h

 

 

 

 

j

j

j 1

j

j

 

 

 

 

 

 

 

run . ,

j 1

Метод Фурье (1 r) rei (1 r) r(cos i sin )

 

 

 

 

1

при любом r, т.е. схема абсолютно неустойчива

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

tn+1

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ r

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xj

xj+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

un 1

un

 

C

un

un

Явная схема с центральной разностью

 

j

j

 

j 1

j 1

 

 

 

 

 

 

2h

второй порядок аппроксимации по пространству

абсолютно неустойчива

0

НЕЯВНЫЕ СХЕМЫ

n 1

n

 

n 1

n 1

 

n 1

n

 

n 1

n 1

 

u j

u j

 

u j

u j 1

 

u j

u j

 

u j 1

u j

 

 

 

C

 

 

0

 

 

C

 

 

0

 

 

h

 

 

h

 

 

 

 

 

 

против потока (С>0)

по потоку (С>0)

 

первый порядок аппроксимации по времени и пространству

при C > 0 схема против потока абсолютно устойчива, схема по потоку условно устойчива при r 1

при C < 0 схема с «разностью вперед» абсолютно устойчива, схема с «разностью назад» условно устойчива при r 1

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.