Лекция 6. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В В ПРОСТРАНСТВЕ.

Чтобы зафиксировать плоскость в пространстве ОХУZ достаточно задать точку на ней и ненулевой вектор перпендикулярный плоскости. При выводе уравнения плоскости мы пользуемся следующим определением.

Определение 1. Вектор назовём вектором перпендикулярным плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости. Такой вектор называется нормальным вектором к данной плоскости.

Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

Точка принадлежит плоскости, тогда и только тогда, если координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.

Приступим к выводу уравнения плоскости. Сформулируем конечный результат.

Теорема 2. Плоскость, проходящая через точкуи имеющая нормальный вектор, задаётся уравнением

(1)

Доказательство. Нужно проверить, что если точка принадлежит нашей плоскости , то справедливо равенство . Так как точки принадлежат плоскости, то векторлежит на плоскости и по условию теоремы 2 он перпендикулярен нормальному вектору . Следовательно скалярное произведение равно нулю

Рис.1

Отсюда и следует формула (1).

Пример 1. Написать уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Согласно теореме.2 уравнение искомой плоскости задаётся формулой (1) . Подставляя в неё данные задачи ,получаем ответ: .

Таким образом если требуется найти уравнение плоскости, то из данных задачи нужно найти точку, через которую про ходит плоскость и любой вектор нормальный к данной плоскости .

Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точку и параллельную векторам .

Решение. Для написания уравнения плоскости не хватает задания вектора нормального к плоскости. Векторы параллельные плоскости можно параллельным сдвигом расположить на плоскости. Вектор, перпендикулярный векторам будет на основании теоремы 1 вектором нормальным к плоскости. Поэтому вектор можно определить как векторное произведение векторов

Отсюда по формуле (1) получаем искомое уравнение плоскости

Замечание. Если в формуле (1) раскрыть скобки, то уравнение плоскости принимает вид

(2)

Такое уравнение плоскости называют общим уравнением плоскости.

Пример 3. Переписать уравнение плоскости в общем виде.

Решение. Раскрывая скобки, получаем ответ .

Приведем простые правила .

Правило 1. Условие параллельности двух плоскостей. Две плоскости , имеющие коллинеарные нормальные векторы параллельны

(3) или

( у коллинеарных векторов координаты пропорциональны) (4)

Правило 2. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Две плоскости , имеющие перпендикулярные нормальные векторы перпендикулярны

(5)

Правило 3. Вычисление значения линейного угла между плоскостями. Линейный угол между плоскостями , имеющих нормальные векторы вычисляется по формуле

(6)

Пример 4. Проверить взаимное расположение плоскостей

4) Вычислить угол между плоскостями 2) и 4).

Решение. Поскольку все вышеприведённые правила используют понятие нормального вектора к плоскости, то вычисляем эти нормальные вектора

-нормальный вектор к плоскости 1) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 2) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 3) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 4) равен .

Отсюда :

1) векторы коллинеарные, так как по формуле (3) :

2) векторы перпендикулярные, так как по формуле (4) .

3) Вычислим угол между плоскостями 2) и 4)

Согласно формуле (5) получаем

Используя калькулятор, находим угол: .

Прямые линии в пространстве

Для того чтобы получить уравнение наклонной прямой линии на плоскости нам нужно было задать точку на прямой и наклон прямой к оси ОХ. Для того, чтобы получить аналогичное уравнение в пространстве необходимо задать точку на прямой и ненулевой вектор параллельный прямой. Вектор называют направляющим вектором прямой (см. рис.2).

Наиболее простым способом задания прямой является параметрическое задание прямой. Способ задает систему уравнений, в которых координаты любой точки прямой являются функциями параметра .

Теорема 5.3. Параметрические уравнения

(7)

задают при любом значении параметра координаты точки , лежащей на прямой.

Доказательство. Докажем формулу (7). Пусть точка лежит на прямой, которая параллельна вектору . Тогда векторы и коллинеарные и следовательно

Отсюда следует формула (7).

О

Рис.2

Записывая уравнения (7) в виде пропорций получаем канонические уравнения прямой

(8)

Пример 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Подставляем данные примера в формулу (4), дающую параметрические уравнения прямой и записываем ответ: . Меняя , получаем различные точки на прямой. Взяв =3, получим точку , лежащую на прямой правее точки. Взяв =-3, получим точку , лежащую на прямой левее точки. Взяв =0, получим точку начальную точку , лежащую на прямой.

Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Решение. Согласно условиям теоремы 3 нам не хватает вектора параллельного прямой. Но из условия задачи его легко получить. Можно взять вектор . Тогда из формулы (7)

получаем параметрические уравнения прямой . В уравнениях

за начальную точку взята точка А .

Приведем простые правила

Правило 4. Условие параллельности двух прямых. Две прямые , имеющие коллинеарные направляющие векторы параллельны

(9)

или (10)

Правило 5. Условие перпендикулярности двух прямых. Две прямые, имеющие перпендикулярные направляющие векторы перпендикулярны

(11)

Правило 6. Вычисление значения угла между прямыми. Угол между прямыми, имеющих направляющие векторы вычисляется по формуле

(12)

Прямую также можно задавать как пересечение двух плоскостей

. В этом случае, чтобы найти координаты точек прямой нужно решать систему уравнений

(13)

Пример 7. Написать параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением двух плоскостей

Решение. Приводим систему к ступенчатому виду

и полагаем произвольному параметру. Тогда . Из первого уравнения

Ответ: параметрические уравнения пересечения плоскостей имеют вид

Из полученного уравнения видно, что прямая проходит через точку . Вектор задающий направление прямой равен .

В приложениях часто встречаются задачи на взаимное расположение прямой и плоскости.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример 8. Найти точку пересечения плоскости и прямой .

Указание. В задачах на пересечение ответом всегда является решение системы

Определение 2. Углом между прямой и плоскостью назовём угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.

_Пример 9. Вычислить угол между прямой L: и плоскостью П:

_{Указание. Острый угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле}

(14)

_Пример 10. Расстояние от точки до плоскости П:

_{вычисляется по формуле}

(15)

Контрольные вопросы

I. Что нужно задать, чтобы написать уравнение плоскости? Напишите уравнение плоскости проходящей через точкуперпендикулярно заданному вектору. Как называется такой вектор?

2. Написать уравнение плоскости:

1)параллельной координатной плоскости OXY;

2) параллельной координатной плоскости OXZ;

3) параллельной координатной плоскости OZY;

III. Написать уравнение плоскости:

1)перпендикулярной координатной оси OX;

2) перпендикулярной координатной оси OY;

3) перпендикулярной координатной оси OZ;

IV. Как определяется: 1) угол между плоскостями, 2) условие параллельности

плоскостей, 3)условие перпендикулярности плоскостей.

5. Что нужно задать, чтобы написать уравнение прямой? Напишите уравнение прямой проходящей через точкупараллельно заданному вектору.

Как называется такой вектор?

5. Как определяется: 1) угол между прямыми, 2) условие параллельности

прямых, 3)условие перпендикулярности прямых.

5. Как вычислить:

1) угол, между прямой и плоскостью, 2) точку пересечения прямой и плоскости.

VIII. Cформулируйте условия: 1) параллельности прямой и плоскости, 2)условие

перпендикулярности прямой и плоскости .