Лекция 7

НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Неявная схема безусловно устойчива, т.е. обеспечивает сходимость разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной при любом отношении /h.

Решение на первых двух временных слоях определяется из начальных данных так же, как это сделано для явной схемы.

Обозначив gij 12r2 , перепишем схему в виде

uij 11 (1 2 )uij 1 uij 11 2uij uij 1 2 fi j 1, i 1, 2, ..., N 1.

Дополнив схему формулами, аппроксимирующими краевые условия, получим СЛАУ с трехдиагональной матрицей, которая решается с помощью метода прогонки

СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ MATHCAD

Используется блок Given – Pdesolve

Необходимо уравнение записать в виде системы, введя функцию v(t) = u (t):

Given

(Подробнее см справку MathCAD)

УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

2D уравнение Пуассона

Описывает распределение электростатического поля и стационарное распределение температуры

В одномерном случае уравнение Пуассона - краевая задача первого рода для ОДУ второго порядка

Необходимо задать граничные условия на границе G

u(x, y) G = γ

Краевые условия первого, второго и третьего рода

Частный случай: уравнение Лапласа u 0

МЕТОД УСТАНОВЛЕНИЯ

Уравнение Пуассона является стационарным вариантом уравнения теплопроводности

На этом основан Метод установления. В правую часть

u

уравнения Пуассона добавляют слагаемое t и решают 2D

уравнение теплопроводности до тех пор, пока решение не перестанет изменяться в зависимости от времени

Решение нестационарной задачи стремится к решению стационарной независимо от выбора начальных данных

Время в этой задаче является фиктивным, и в разностных схемах надо использовать максимально возможный шаг

При использовании явных схем процесс установления занимает продолжительное время

Применение схем дробных шагов существенно сокращает время решения

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Не связаны со сведением к уравнению теплопроводности

Приводят к решению СЛАУ с заполненной матрицей, которая решается итерационным методом

Лежат в основе стандартных функций пакета MathCAD

Область решения - прямоугольник G a x b, c y d

Система с блочно-трехдиагональной матрицей

Решается с помощью метода матричной прогонки

Есть много модификаций метода

СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ MATHCAD

Для решения уравнения Пуассона с нулевыми краевыми условиями используют функцию multigrid(F,ncycle)

F – матрица размера (M+1) (M+1), содержащая правую часть уравнения в узлах разностной сетки;

ncycle – параметр численного алгоритма (количество циклов в пределах каждой итерации), можно выбрать равным 2.

G

СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ MATHCAD

Для решения краевой задачи с ненулевыми краевыми условиями можно использовать встроенную функцию relax(a,b,c,d,e,F,v,r)

a, b, c, d, e – квадратные матрицы коэффициентов разностной схемы:

a uij 1 b uij 1 c uij 1 d uij 1 e uij F,

F – квадратная матрица, задающая правую часть уравнения,

v – квадратная матрица граничных условий и начального приближения к решению

r – параметр, характеризующий скорость сходимости метода, должен лежать на интервале (0,1).