Калинин / Приборостроителям / Математика 1 (18)

Контрольная работа №1

1. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:

Решение

Найдём главный определитель системы:

Найдём вспомогательные определители данной системы:

По формулам Крамера определим

2. Найти предел:

Решение

Для того, чтобы избавиться от неопределённости, домножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое данному , получаем:

Преобразуем и воспользуемся для раскрытия неопределённости вида правилом Лопиталя, дифференцируя по отдельности числитель и знаменатель:

Так как полученные подкоренные выражения стремятся к единице при стремлении аргумента к бесконечности.

3. Найти производную функции: .

Решение

Дифференцируем как сумму сложных функций:

4. Точка А движется по оси абсцисс, и её координаты изменяются по формулам

- время. Точка В движется по оси ординат, её координаты изменяются по формулам Найти момент времени, при котором площадь треугольника ОАВ (где О – начало координат) минимальна.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника (а угол, образованный осями декартовых координат – прямой) определяется как половина произведения сторон –

Исследуем функцию площади на экстремум, найдём производную:

Найдём вторую производную:

Приравнивая производную нулю, находим экстремум:

Отсюда, минимальная площадь, так как функция при t=0,4 имеет минимум (вторая производная положительна):

кв. ед.

5. Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой . Сделать чертёж.

Решение

Касательными к графику функции являются прямые с угловым коэффициентом k равным значению производной в точке касания. Производной функции является

Перпендикулярность прямых (касательной и любой другой прямой) означает равенство единице произведения их угловых коэффициентов: :

Таким образом,

Откуда

Уравнениями касательных являются уравнения прямых с заданными угловыми коэффициентами и проходящие через заданные точки:

Чертёж:

6. Исследовать функцию и построить схематично её график.

Решение

1. Областью определения данной функции является всё множество действительных чисел, за исключением точки х=-1 (выколотая точка).

2. Множеством значений данной функции является всё множество действительных чисел.

3. Точками пересечения с осями координат являются точка (0; 2) – с осью ОУ и точка (2; 0) – с осью ОХ.

4. Интервалы знакопостоянства: функция больше нуля при аргументе х большем минус единицы и меньше нуля при аргументе х меньше минус единицы:

5. Исследуем интервалы возрастания и убывания функции с помощью производной:

Производная равна нулю в единственной точке (2; 0). До этой точки производная отрицательна (функция убывает), после – положительна (функция возрастает).

6. Исследуем интервалы выпуклости и вогнутости функции с помощью второй производной:

Вторая производная равна нулю в единственной точке (5;0,75). До этой точки вторая производная положительна (функция вогнута), после – отрицательна (функция выпукла). В точке х=2, вторая производная положительна, следовательно в этой точке функция имеет минимум.

7. Функция терпит разрыв в точке х=1, следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту х=1. Горизонтальных и наклонных асимптот функция не имеет, так как

График функции: