Задачи № 1-10.

Даны множества на числовой прямой А, В и С - найти множества А и изобразить их на числовой оси.

2. А=, В= , С=.

РЕШЕНИЕ

Множество Aсостоит из точек числовой прямой, которые принадлежат либо множеству A, либо множеству C:

A.

Множество A состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно и множеству A и множеству B.

A.

Множество A состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B или C.

A.

Множество (A состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно множеству A и множеству C. Построим множество A:

A

Построим здесь же множество (A

Множество B состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно и множеству B и множеству C.

B= Ø так как у этих множеств нет общих точек.

Задачи № 11-20.

Для исходной теоремы сформулировать обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы. Указать, какие из этих теорем истинны. Если теорема не является истинной, то приведите подтверждение ее ложности.

6. Если в треугольнике один угол тупой, то два других – острые.

РЕШЕНИЕ

Формулировка любой теоремы может быть представлена в виде: «Для каждого элемента x множества M из предположения p(x) следует предложение q(x)». В нашем случае условием теоремы p(x) является утверждение: «В треугольнике один угол х тупой», заключением теоремы – предложение q(x): «В треугольнике два другие угла – острые». Оба предложения p(x) и q(x) заданы на множестве М всех треугольников.

Общий вид теоремы: p(x)q(x). Обратная теорема строится по схеме: q(x)p(x). Она формулируется так: «Если в треугольнике два угла острые, то третий угол - тупой».

Противоположная теорема строится по схеме: , где- отрицание p(x); - отрицание q(x).

Она формулируется так: «Если в треугольнике нет тупого угла, то два другие его угла не острые».

Теорема, противоположная обратной, строится по схеме:

. Её формулировка: «Если в треугольнике нет двух острых углов, то третий угол - не тупой».

Истинные теоремы: прямая и противоположная обратной.

Ложные теоремы: обратная и противоположная.

В качестве примера, доказывающего ложность обратной теоремы достаточно взять равносторонний треугольник. У него два угла острые (60 градусов), но третий угол не тупой (а также острый – 60 градусов).

Ложность противоположной теоремы следует из того же примера: в равностороннем треугольнике нет тупого угла, но другие его углы также являются острыми.

Задачи № 21-30.

Доказать методом математической индукции справедливость следующих равенств:

1. 3+5+7+…+(4n-1)=(2n+1)n

Решение

Сформулируем принцип математической индукции: имеется последовательность утверждений. Если первое утверждение верно, а за каждым верным утверждением следует верное, то все утверждения в последовательности равны.

В соответствии с принципом математической индукции проверим справедливость утверждения для n=1 и n=2. Подставим n=1 в исходное утверждение. Получим верное равенство 3=3.

Далее предположим, что утверждение верно для некоторого значения n=k, т.е. справедливо равенство 3+5+7+…+ (4k-1)=(2k+1)k=2k²+k.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. докажем, что

1+3+5+…+(4k-1)+(4k+1)=(2(k+1)+1)(k+1)=(2k+3)(k+1)=2k²+5k+3=(2k²+k)+(4k+1)

Тем самым по принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального значения n .

Задачи № 31-40.

Найти производные функций:

5. а) ; б) .

РЕШЕНИЕ

Задачи № 41-50.

Выполнить исследование функции по следующей схеме:

1) найти область определения;

2) проверить четность, нечетность функции;

3) найти точки пересечения с осями координат;

4) найти экстремумы функции и интервалы монотонности;

5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;

6) найти пределы функции при ;

7) построить график функции.

1. ,

РЕШЕНИЕ

1. Областью определения данной функции является всё множество действительных чисел.

2. Данная функция является функцией общего вида (ни чётная ни нечётная), так как f(-x) не равно f(x) и f(-x) не равно -f(x).

3. Точками пересечения с осями координат будут точки (0; -5) – с осью ОУ и (0,14775; 0) с осью ОХ, других точек пересечения с осью ОХ нет.

4. Первой производной данной функции будет: у^'=9х²-30х+36, а этот многочлен действительных корней не имеет, так как если составить его дискриминант, то он окажется отрицательным. Значения этого многочлена всегда положительны, следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

5. Второй производной данной функции будет выражение: у^’’=18х-30, у которого один корень х=5/3. До этой точки график функции выпуклый, а далее – вогнутый.

6. При стремлении функции к плюс бесконечности функция неограниченно возрастает и к минус бесконечности функция неограниченно убывает.

7. График функции, построенный вблизи начала координат:

Задачи № 51-60.

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

9. а) ; б) .

РЕШЕНИЕ

А)

Проверка дифференцированием:

Б)

Проверка дифференцированием:

Задачи № 61-70.

10. а) владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

б) в специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием Н, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения от болезни К равна 0,7, для болезней Н и М эта вероятность соответственно равна 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

РЕШЕНИЕ

А) Вероятность угадывания 5 номеров из 49 при 6 зачёркнутых (геометрическая вероятность) – является отношением числа сочетаний из 6 по 5 к числу сочетаний из 49 по 6:

Б) Вероятность того, что поступивший в больницу пациент, выписанный выздоровевшим, страдал заболеванием К найдётся по формуле Байеса – как отношение вероятности заболеть болезнью К и впоследствии вылечиться от неё в данном лечебном учреждении к полной вероятности заболеть одним из заболеваний и вылечиться от них в данном лечебном учреждении.

Таким образом, вероятность попасть в данное лечебное учреждение с заболеванием К и выписаться здоровым равна: 0,454.