Формулы сокращенного умножения

● –не разлагается ●

● ●

● ●

● ●

1.5. Алгебраические дроби

Если имногочлены, то выражение виданазываетсяалгебраической дробью. Алгебраическая дробь называется правильной в том случае, если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, и неправильной, если старшая степень числителя больше или равна старшей степени знаменателя. Всякая неправильная дробь может быть преобразована в сумму некоторого многочлена – целая часть и правильной дроби

Например,

т

–

. к. 3х⁴ – 10х³ + 22х² – 24х + 10 х² – 2х + 3

3х⁴ – 6х³ + 9х² 3х² – 4х + 5

–

целая часть

–4х³ + 13х² – 24х + 10

–4х³ + 8х² – 12х

–

5х² – 12х + 10

5х² – 10х + 15

остаток

–2х – 5

● Разложение на простейшие дроби

Всякая правильная несократимая алгебраическая дробь может быть единственным образом преобразована в сумму простейших дробей видаилиеслиПри этом могут быть следующие четыре случая.

1. Знаменатель (коэффициент при старшем члене знаменателя удобно сделать равным 1, деля на него числитель и знаменатель дроби) такой, что уравнениеимеет только действительные однократные (простые) корниВ этом случае разложение ведется по формуле:

где А, В, … С – неопределенные коэффициенты.

2. Корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные. Тогда разложение ведется по формуле:

3. Среди корней знаменателя есть комплексные однократные, т. е. дискриминант для квадратного трехчленаВ этом случае разложение ведется следующим образом:

4. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные. Разложение ведется по формуле:

Замечание. Для нахождения неопределенных коэффициентов используют условия равенства двух многочленов:

● два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х;

● если многочлены равны, то равны их числовые значения при одинаковых числовых значениях х.

Примеры. Разложить на простейшие следующие алгебраические дроби.

1.

Если дроби с одинаковыми знаменателями равны, то равны и их числители:

Далее зададим х значения корней знаменателя данной дроби: и подставим в последнее равенство:

Найденные значения А, В, С запишем в простейшие дроби и получим:

2.

Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители данной и полученной дроби: .

Итак,

3.

Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители:

Задаем х значение действительного корня знаменателя данной дроби а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхх:

Итак,

1.6. Свойства степеней

1. 7.13.

2. 8.14.

3. 9.но

4. 10.15.

5. 11.16.

6. если12.17.

1.7. Абсолютная величина действительного числа

Свойства абсолютной величины:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6..

7. Если тоСледовательно, еслии то

8. Если ,то9. Если, то

1.8. Тригонометрия

1.8.1. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

,

Если – действительные числа, то

гиперболические функции

1.8.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

периодичность	нечетные функции	ограниченность
	четная функция	неограниченность
где

1.8.3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Под формулами приведения понимаются соотношения, позволяющие выражать тригонометрические функции произвольных углов через тригонометрические функции острых углов

Таблица

Основная таблица формул приведения

Функция	β = 90° ± α	β = 180° ± α	β = 270° ± α	β = 360° ± α
sin β	+ cos α	sin α	– cos α	– sin α
cos β	sin α	– cos α	± sin α	+ cos α
tg β	ctg α	± tg α	ctg α	– tg α
ctg β	tg α	± ctg α	tg α	– ctg α

Для углов, не попавших в основную таблицу, используется свойство периодичности тригонометрических функций.

Примеры

1)

2)

3)

24