Алгебраические действия над комплексными числами

1. Сложение и вычитание двух комплексных чисел:

Следствие. Комплексные числа иназываются взаимно сопряженными и обозначаются,Следовательно,

для двух взаимно сопряженных чисел:

сумма – действительное число,

разность – чисто мнимое число.

2. Умножение двух комплексных чисел:

•

Произведение взаимно сопряженных чисел

–действительное число.

• Если числа изаданы в тригонометрической форме, то

• Если числа изаданы в показательной форме, то

3. Деление двух комплексных чисел всегда возможно и осуществляется:

• в алгебраической форме с помощью умножения делимого и делителя на число, взаимно сопряженное делителю:

• в тригонометрической и показательной форме следующим образом:

если то

или

Примеры 1)

2)

3)

4)

5)

6) Если комплексное число тообратное ему число

4. Возведение в n-ю степень комплексного числа

если то

В частности, имеем:

Если то.

5. Извлечение корня n-ой степени как действие, обратное возведению в степень: если ито

где

Если принимает значения:…,то значениябудут отличаться друг от друга наПри дальнейшихзначениябудут повторяться. В геометрической интерпретации точки, изображающие, являются вершинами правильногоn-угольника с центром в начале координат. На рис. 2 изображены шесть значений где

Пример 1. k = 0, 1, 2, 3.

Получаем четыре значения корня:

1) 2)

3) 4)

Пример 2. k = 0, 1.

Получаем два значения 1)2)(рис. 3).

1.3. Алгебраические выражения и действия над ними

В алгебре изучаются действия с выражениями, содержащими как числовые, так и буквенные значения. При этом буквам может при необходимости придаваться конкретное численное значение.

• Одночленом называется произведение нескольких сомножителей, являющихся числами или буквами. Отдельные числа и буквы также считаются одночленами. Например, 6,у – одночлены.

• Многочленом называется сумма одночленов. Например, – многочлены.

Основу всех алгебраических операций представляют следующие законы сложения и умножения:

Переместительный закон:

Сочетательный закон:

Распределительный закон:

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются следующие приемы.

• Приведение подобных членов. Если несколько слагаемых имеют одинаковые буквенные части, то их числовые коэффициенты складываются, а буквенная часть сохраняется. Например,

• Вынесение множителя за скобки производится на основе распределительного закона и правил действий со степенями.

Пример 1.

Раскрытие скобок также производится с помощью распределительного закона. Необходимо помнить, что если множитель перед скобками имеет отрицательный знак, то при их раскрытии меняются знаки всех слагаемых.

Пример 2.

Пример 3.

• Деление многочленов. Для деления многочлена, зависящего от одной переменной х, на аналогичный многочлен меньшей степени используют следующую процедуру деления столбиком:

1) расположим слагаемые в многочленах в порядке убывания степени неизвестной; 2) разделим первое слагаемое делимого многочлена на первое слагаемое делителя и результат напишем в частное; 3) умножим результат на делитель и вычтем его из делимого; 4) произведем с полученным при вычитании многочленом действия аналогичные пунктам 2) и 3). Будем повторять эту операцию, пока при вычитании не получится либо ноль, либо многочлен степени меньшей, чем у делителя. Этот многочлен называется остатком.

Пример 4. Выполнить деление многочлена на многочлен

3

–

х⁴ – 7х³ + 12х² – 5х + 3 х² – 2х + 3

3х⁴ – 6х³ + 9х² 3х² – х + 1

–х³ + 3х² – 5х + 3

– х³ + 2х² – 3х

–

х² – 2х + 3

х² – 2х + 3

0

Следовательно,