1.4. Многочлены и их корни

• Многочленом степени n называется всякое выражение вида:

где и– старший коэффициент,– свободный член.

Обычно многочлен n-ой степени обозначается Тогда, например, выражение – многочлен второй степени,– многочлен первой степени, а всякое, отличное от нуля, вещественное число А принято считать многочленом нулевой степени.

• Число х₀ называют корнем многочлена , еслиВ этом случае многочленбез остатка делится на

1.4.1. Квадратный трехчлен

Квадратный трехчлен – это многочлен второй степени, который записывается так: где

Графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви которой направлены вверх при (рис. 4,а) или вниз при (рис. 4,б).

Корни квадратно-го трехчлена есть абсциссы иточек пе-ресечения параболы с осью 0х и находятся по формуле:

где – дискриминант квадратного трехчлена.

• –два действительных различных корня, тогда

• –два действительных равных корня, тогда

• нет действительных корней и нет точек пересечения парабол с осью 0х. Считая, что получим два сопряженных комплексных корнягде α и β – действительные числа.

Примеры. Найти корни квадратного трехчлена и разложить его на мно-жители.

1.

2.

3.

● Теорема Виета

Если и– действительные корни уравнениягдетои.

● Квадратный трехчлен можно записать в следующем виде:

Такое преобразование называется выделением полного квадрата.

Например, 1.

2.

3.

1.4.2. Теорема безу и схема горнера

Для любого многочлена степении любого числанайдется такой многочлен степени

что справедливо равенство:

(Теорема Безу)

Коэффициенты многочлена могут быть вычислены по следующему алгоритму:

Результаты вычисления коэффициентов многочлена удобно записывать в специальную таблицу, называемуюсхемой Горнера:

				…			…
				…			…

Понятно, что если – корень многочлена, тои, следовательно,(следствие из теоремы Безу).

Таким образом, чтобы выяснить, является ли число корнем многочлена, нужно заполнить схемуГорнера. Если окажется равным 0, то– корень. В противном случае– не корень .

Замечание. Все рациональные корни многочлена

с целыми коэффициентами являются целыми и являются делителями свободного члена .

Пример. Найти целые корни уравнения

Решение. Целые корни ищем среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2. Проверяем по схеме Горнера каждое из этих чисел.

	1	3	1	–3	–2
1	1	4	5	2	0	корень
1	1	5	10	12		не корень
–1	1	3	2	0		корень
–1	1	2	0			корень (кратности 2)
–2	1	0				корень

Данное уравнение имеет 3 корня: 1; –1; –2, причем –1 – корень кратности 2. Следовательно,

Основная теорема алгебры. Всякое уравнение имеетn корней действительных или комплексных.

Если действительные корни многочлена равны: α, β, …, λ и, соответственно, их кратностиk, l, ..., p, то данный многочлен можно разложить на множители следующим образом:

где старший коэффициент .

Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то корнем этого многочлена обязательно будет и число, т. е. комплексные корни многочлена всегда попарно сопряженные.

Следствие. Каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители следующим образом:

причем дискриминант для квадратных трехчленов.

Примеры.

1.

2.

При разложении многочлена на множители удобно применять