Математические основы моделирования сложных физических систем

G(x,t) интенсивность поглощения, а F(x,t) опсывает источники.

5.2. Обобщенная постановка задачи Если коэффициенты задачи не удовлетворяют необходимым условиям

гладкости, то задачу и ее решение следует трактовать в обобщенном смысле,

считая коэффициенты и решение элементами обобщенных функциональных классов с соответствующим обобщенным толкованием производных.

Умножим уравнение (5.1) на произвольную (пробную) весовую функцию (x) и проинтегрируем по промежутку [a,b] . Используя формулу интегрирования по частям, получим интегральное тождество, эквивалентное исходному уравнению (5.1)

Тождество (5.4) имеет смысл и тогда, когда функциональные коэффициенты уравнения (5.1) являются только кусочно-непрерывными функциями, что позволяет сформулировать обобщенную постановку исходной задачи.

Обобщенным решением задачи (5.1) - (5.3) будем называть функцию u(x,t) ,

удовлетворяющую интегральному тождеству (5.4) для всех (x) , а краевые и начальные условия выполняются выполняются почти всюду.

5.3. Пространственная дискретизация обобщенной задачи Коши Введем в области x [a,b] (неравномерную) пространственную сетку

70

Определим усредняющие интегральные операторы. Пусть F(x,t) -

произвольная кусочно-непрерывная функция. Тогда по определению

Используем аппроксимации (5.24) и запишем уравнение баланса (5.22)

в виде:

Здесь разностный оператор ˆ определяется выражением

Li y

74

5.6. Решение эволюционной задачи Чтобы свести решение задачи (5.28) к задаче эволюционного типа,

введем вспомогательную функцию и ее аппроксимации в окрестности узла xi

Тогда соотношения (5.28) и (5.31) можно представить в виде эволюционного уравнения:

75

Поточечные оценки точности аппроксимации в узловых точках по пространству дается выражениями:

где ui = u(xi ,t) , ui -- результаты численной аппроксимации решения исходной задачи в точке (xi ,t) .

Результаты представлены в таблице приведенной в выходном файле testhyp.txt.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Среди 23 проблем Д. Гильберта, которые этот великий математик

сформулировал в 1900 году на международном конгрессе математиков в Париже, достойное место занимает проблема 20 — "общая задача о граничных условиях", в которой ставится проблема расширения классического понятия решения дифференциального уравнения и выработки понятия обобщенного решения. Окончательного решения этой проблемы пока не существует. Однако существует общий подход к построению понятия обобщенной разрешимости: для дифференциальных уравнений нужно построить эквивалентные им интегральные уравнения, решения которых и объявить решением исходных дифференциальных уравнений в обобщенном смысле.

С развитием вычислительной техники получили быстрое развитие дискретные методы решения задач математической физики - метод конечных разностей и метод конечных элементов. Метод конечных разностей можно применять для случая, когда решение задачи является достаточно гладким.

Однако реальные физические процессы часто протекают в гетерогенных

77

средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками, меняющимися скачком на границах, и имеют сосредоточенные источники. В этих случаях естественно возникает понятие обобщенного решения. Обобщенное решение дифференциального уравнения определяется как функция, удовлетворяющая некоторому интегральному тождеству, полученному из исходного дифференциального уравнения с учетом источников и граничных условий. Это интегральное тождество, в

частности, может представлять собой соотношение баланса в некоторых локальных объемах - конечных элементах - и поэтому метод конечных элементов хорошо подходит для построения разностной схемы для обобщенного решения.

Исходная задача, заданная дифференциальным уравнением записанным для искомой функции, представляется в эквивалентной интегральной формулировке, а затем ищется приближенное решение последней в виде комбинации конечного числа заданных пробных функций. В методе конечных элементов пробные функции кусочно полиномиальны. Именно этим выбором определяется успех метода. Каждая пробная функция равна нулю на большей части области и отлична от нуля только в окрестности одного узла.

В этой окрестности пробная функция составлена из полиномов небольшой степени, и все вычисления становятся максимально простыми.

Еще один способ построения разностных схем для задач с обобщенным решением, состоит в аппроксимации производных конечными разностями в узлах сетки и вычислении интегралов по квадратурным формулам в локальных областях в окресности узлов сетки, задаваемых кусочно-

полиномиальными пробными функциями. Таким способом удалось получить хорошие апроксимации для многомерных стационарных и нестационарных задач с граничными условиями.

78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1]Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Изд-во ЛГУ, Л., 1976.

[2]Maglevanny I. and Smolar V. Vacuum, 46(11):1261--1269, 2002.

[3] Самарский А. А. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. Изд-во ЛГУ, М., 1987.

[4] Марчук Г.И. Методы расщепления. Наука, М., 1988.

[5] Самарский А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1983.

[6] Хайрер Э. and Нерсетт С. and Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Vbh., М., 1990.

79