Математические основы моделирования сложных физических систем

x =

x1,..., xi 1, xi 1,..., xn .

i

Учитывая, что

=

n

n

,

i=1 i

i=1 i

n

n

C(x,t) =

Ci (xi ,t) ( i )

Ci (xi ,t) ( i ),

i=1

i=1

D(x,t) = Di (xi ,t) ( i ) Di (xi ,t) ( i ),

n

n

E(x,t) =

Ei (xi ,t) ( i )

Ei (xi ,t) ( i ),

i=1

i=1

ni (x) =

ij , x

i ,

(4.7)

запишем краевые условия в виде

C (x ,t)u(x,t)

D (x

,t)

u(x,t)

= E

(x ,t), x

i

.

(4.8)

i

i

i

i

i

xi

i

i

i

i

Используя (4.7) и (4.8), запишем интегральное тождество (4.6) в виде:

dx

K

u

= dx

Gu

F

t

n

u

u

dxAi

dx Bi

i=1

xi

xi

xi

d i

(x)

Ai

(x,t)

Qi (x,t)

Pi (x,t)u(x,t)

i

i

i

d i

(x)

Ai (x,t)

Qi (x,t)

Pi (x,t)u(x,t)

,

(4.9)

i

i

i

i

где ограничение функции на грань определяется по правилу

(4.10)

f (x)

(x ) =

f (xi

, x ),

i

i

i

,t). (4.11)

Qi (x ,t) = Ei

(x

,t) / Di (x ,t), Pi

(x

,t) = Ci (x ,t) / Di

(x

i

i

i

i

i

i

Таким образом, исходная задача свелась к обобщенной задаче Коши

(4.9).

4.2. Пространственная дискретизация обобщенной задачи Коши

Введя в область

пространственную сетку и используя в качестве

Введем в

области

(неравномерную) пространственную сетку.

Обозначим через

множество узловых значений i - той переменной

i

i

= xi,m

mi

= 1,...Mi

,i = 1,..., n,

(4.12)

где xi,1 = xi , xi , M i

= xi .

i

Введем обозначения для различных множеств сеточных узлов

i =

xi,m

mi = 2,...Mi = 1

(4.13)

n

n

i

(4.14)

=

X

i ,

= X i

=

, =

, i =

i .

i=1

i=1

Таким образом,

-

множество всех сеточных узлов,

- множество

всех внутренних узлов, - множество всех граничных узлов,

i

- множество

всех узлов на грани i . Элементы множеств (107), (108) будем обозначать

символом , так что, например,

означает

=

1,..., n , i

i ,i = 1,..., n

Координаты

вектора

являются узловыми

значениями

соответствующей

переменной.

Для

каждой

координаты

i

определим

шаги

сетки по

переменной xi . Если

i = xi ,m

, то положим:

i

hi (

i ) =

i

xi,m

1, hi

( i ) = xi,m

1

i ,

i ( i ) = 0,5(hi

(

i )

hi (

i )).

(4.15)

i

i

Очевидно, что

hi

(

i

hi (

i )) = hi (

i ), hi (

i

hi (

i )) = hi

(

i ).

(4.16)

С каждым узлом

i

свяжем элементарную окрестность

x Rn

e( ) =

i

h (

i

) x

i

h (

i

) .

i

i

i

На множестве

будем рассматривать

функции

y(x,t) ,

которые

будем

обозначать H ( ) . На

множестве

H (

)

можно

определить структуру

гильбертова пространства [2]-[4].

Аналогично определяются пространства H(

) ,

H ( i ) .

Введем обозначения

hi

(

i ) = {0,..., hi

(

i ),...,0},

hi

(

i ) = {0,..., hi

(

i ),...,0},

y ( ,t) =

1

y( ,t)

y( hi ( i ),t) ,

hi

(

i )

i

y ( ,t) =

1

y(

hi ( i ),t)

y( ,t) .

hi

(

i )

i

y

(

hi (

i ),t) = y

(

,t).

(4.17)

i

i

Для

i

i определим одномерные функции

2

(

xi

hi

(

i )),

xi

[

i ,

hi (

i )],

i

i

i

(

i

, x ) =

(h (

i

))2

(4.18)

i

i

0,

xi

[ i ,

i

hi

(

i )],

i

xi

;

2

(xi

hi

i ),

xi

[

hi

(

i ),

i ],

i

i

i

(

i

, x ) =

(h (

i

))2

(4.19)

i

i

0,

xi

[ i

hi ( i ), i ], i

xi ;

0

(

, x ) =

1

h (

)

(

, x )

h (

)

(

, x )

,

x .

(4.20)

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

2 i ( i )

i

i

i

i

i

С помощью этих функций определим одномерные интегральные ядра

для

i

i :

i ( i , xi ), i = xi ,

i

(

i

, x ) =

0

(

i

, x ),

i

i

,

(4.21)

i

i

i

i ( i , xi ), i = xi .

Нетрудно убедиться, что все функции

i

нормированы на единицу

i ( i , xi )dxi = 1

Функции

i

,

0

совпадают (с точностью до нормировки)

с базисными

i

функциями, используемыми в методе конечных элементов.

Используя (4.18) - (4.21), находим производные:

i

2 / (h (

i

))2 , x

[

i

,

i

h (

i

)],

=

i

i

i

(4.22)

xi

0, xi

[

i ,

i hi

(

i )], i

xi .

i

2 / (h (

i

))2 , x [

i

h (

i

),

i

],

=

i

i

i

(4.23)

xi

0, xi

[ i

hi ( i ), i ], i

xi .