Математические основы моделирования сложных физических систем

В интегральное уравнение (2.3) теперь входит первая производная функции

u . Первая производная дискретной аппроксимации функции u имеет вид

Подставим эту аппроксимацию производной искомого решения в равенство (2.3) и потребуем его выполнения для каждой из n пробных функций (2.4). Тогда вместо интегрального уравнения (2.3) получим систему n алгебраических уравнений:

Перепишем систему уравнений (2.6) с учетом граничных условий (2.1)

30

Матрица K имеет размерность nxn , где n - число узлов, считая

граничные. Она также оказывается трехдиагональной и включает граничные условия в первый и последний члены главной диагонали:

2.3. Контрольный пример

31

Рисунок 2.1 - Точное решение - сплошная кривая, крестики - решение методом

конечных элементов

В качестве контрольного примера решим методом конечных

Пусть шаг дискретизации h = 0.1, тогда n = 11. Вычисления интегралов выполним вручную, а для решения получившейся в результате вычисления системы уравнений (2.2) применим пакет SCILAB.

По формулам (2.9) - (2.12) получаем систему алгебраических уравнений

32

(2.2) в виде:

Воспользуемся математическим пакетом SCILAB, чтобы решить эту

систему уравнений.

Текст программы:

K = [

1.1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 -1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0.9];

q = -0.01*[1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1]; sol = inv(K)*q';

x = linspace(0,1,11); u = 1 + x + x*x;

scf(1), plot(x,u, x,sol,'+'), xlabel('x'), ylabel('u,y')

33

На рисунке 2.1 приведены результаты работы программы, из которых видно, что решение, найденное методом конечных элементов, на графике совпадает с точным.

2.4. Нормированные пробные функции

На сетке с равномерным шагом дискретизации на интервале x [0,1]

определим функции

Определим пробную функцию на сетке выражением

Эти функции нормированы на единицу

Производная пробной функции дается выраженниями

34

Пусть y(xi ) - сеточная функция, аппроксимирующая значения u(x) в

узлах x = xi . В окрестности узла используем аппроксимацию:

Здесь (x) - функция Хэвисайда.

Переход к интегральной форме полностью аналогичен 2.1. Подставим аппроксимацию производной искомого решения (2.22) в интегральное уравнение (2.3) и потребуем его выполнения для каждой из пробных функций

(2.17). Тогда вместо (2.3) получим n уравнений

35

уравнения, интегрирование ведется по окрестности узла xi с тем же номером,

матричные коэффициенты построчно. Для упрощения дальнейших выкладок

Матричные коэффициенты f1 j для первой строки не равны нулю только в первых двух столбцах:

Для последней n -той строки имеем

Матричные коэффициенты fnj для последней строки не равны нулю только в двух последних столбцах:

Для строк с номерами 1 < i < n имеем

36

Матричные коэффициенты для этих строк не равны нулю в главной диагонали и еще двух столбцах - перед и после главной диагонали:

где n - число узлов, считая граничные. Она оказывается трехдиагональной и включает граничные условия в первый и последний члены диагонали:

Вычислим правую часть матричного уравнения. Согласно (2.23), вектор правой части дается выражениями

h

q1 = q(x) 1 (x)dx, i = 1;

Из сравнения матриц жесткости и правых частей, вычисленных с нормированными базовыми функциями (формулы (2.27) и (2.28)) и с ненормированными базовыми функциями видно (формулы (2.8) и (2.12)), что

37

в обоих случаях мы получим тоже самое матричное уравнение (2.2), к

решению которого сводится поставленная задача (2.1).

2.6. Пример вычислительной программы

В Приложении приведен текст вычислительной программы fem2.cpp,

написанной на языке С++, в котором решается задача (1.23) об однородном стержне с закрепленными концами нагруженном внешними силами,

направленными вдоль оси стержня и непрерывно меняющимися по величине.

Функцию нагрузки q(x) в правой части уравнения (1.23) можно задавать в тексте программы. Число узлов при дискретизации задачи также задается в тексте программы. На выходе получаются величины смещений узловых точек. Рекомендуется протестировать программу по какому-либо точному решению u(x) , получив для него функцию нагрузки q(x) . Примеры таких точных решений приведены в тексте программы.

Чтобы протестировать программу, решим континуальную задачу об однородном стержне с закрепленными концами (1.23):

d 2u = q(x), u(0) = u(1) = 0. d 2 x

Программа, реализующая вычислительный алгоритм для этой задачи,

приведена в Приложении и состоит из текста программы на С++ в файле fem3.cpp и хедерного файла fem3.h.

Чтобы протестировать программу, решим контрольный пример. Пусть решение имеет вид:

u(x) = x3 x.

Очевидно, что это решение удовлетворяет граничным условиям задачи.

Подставив это решение в уравнение, получим правую часть этого уравнения

38

для нашей тестовой задачи

q(x) = 6x.

В тексте программы fem3.cpp введем найденную правую часть в функцию fun_q() . В функции main() зададим число узлов knots_N . В функции output() организуем вывод приближенного решения и точного решения для соответствующих узлов в текстовый файл с именем results.dat.

3. СТАЦИОНАРНАЯ ДИФФУЗИЯ-КОНВЕКЦИЯ

3.1. Дискретизация задачи Пусть коэффициенты дифференциального уравнения зависят от

координаты x , а само уравнение имеет вид

Такое уравнение может возникает в задачах диффузии или теплопроводности. В случае диффузии D - коэффициент диффузии, C -

коэффициент конвекции, A - коэффициент поглощения, и эти коэффициенты могут зависеть от координаты x , но не зависят от самого решения, что и делает задачу линейной.

Произведем дискретизацию так же, как и в предыдущем случае.

Согласно схеме метода конечных элементов, разобьем интервал [0,1] на элементы, соединенные в узлах xi , i =1,2, ,n (рисунок 1.4). Будем разыскивать приближенное решение задачи (3.1), (3.2) среди функций семейства с конечным числом параметров в виде (1.26).

39