Математические основы моделирования сложных физических систем

K (i ) носит название матрицы жесткости элемента r .

От типового элемента перейдем к отдельным элементам данной

системы. Для элементов с номерами 1 < i < n 1 справедливы все зависимости

(1.4) - (1.9). Поскольку точки a,b неподвижны, то состояние элемента 1

определяется перемещением узла 1, а элемента n - перемещением узла n 1.

На основании (1.4) будем иметь для элементов 1 и n соотношения

n , можно заключить, что матрицы жесткости для жесткости для одноузловых

элементов 1 и n имеют вид

Теперь все известно о каждом отдельном элементе системы.

Следующим шагом является соединение элементов в узлах на основе условий:

Отсюда следует, что состояние соединенных элементов или системы в целом определяется двумя узловыми перемещениями и рассматриваемая задача является дискретной.

Для всей системы можно записать соотношения типа (1.9)

относительно суммарных для смежных элементов внутренних сил в узлах.

10

Обозначим их fi . Введем столбцы f , u и матрицу жесткости всей системы

K по формулам:

возникающая от единичного перемещения узла l при нулевом перемещении узла t . Эти суммарные силы определяются через узловые силы в смежных элементах.

Mатричное соотношение типа (1.9) для всей системы будет:

(1.14)

Учтем, что внутренние упругие силы fi уравновешивают приложенные в узлах внешние силы нагрузки Fi - они равны им по величине и противоположны по направлению. Тогда матричное соотношение для системы будет иметь вид

Из (1.13) следует,что матрица жесткости системы строится на основе

коэффициентов жесткости для отдельных элементов. Алгоритмически выполнить это можно по-разному [5]. Например, можно для всех элементов строить матрицы жесткости одинаковой размерности равной размерности

11

элементах системы.

Таким образом, схема метода конечных элементов для дискретных задач состоит из представления системы в виде совокупности отдельных элементов, использования точного решения для типового элемента и соединения элементов в систему. Матрица жесткости всей системы определяется посредством матриц жесткости отдельных элементов и является матрицей системы алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений.

Метод конечных элементов сводит решение линейной задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений:

Если обозначить столбец неизвестных u , а столбец свободных членов P , то система линейных алгебраических уравнений (1.18) принимает матричную форму (1.17) с матрицей жесткости (1.19)

Система алгебраических уравнений должна быть невырожденной, то есть иметь единственное решение. Для решения (1.20) можно воспользоваться, например, методом исключения Гаусса. Однако при

13

применении приближенных методов обычно приходится иметь дело с системами большого порядка n 1, и матрица, вообще говоря, может иметь такую структуру, которая затрудняет получение решения. При этом на точности результата в той или иной степени сказываются неизбежные в процессе вычислений ошибки округления. Одним из важных достоинств метода конечных элементов является то, что он обычно приводит к таким

системам алгебраических уравнений, матрицы K которых позволяют эффективно строить решение.

Выясним, какой желательно иметь матрицу K в (1.20). Наиболее

простой была бы система (1.20) с диагональной матрицей K , когда все fij = 0

при i j. В этом случае (1.20) распадается на отдельные уравнения:

fiiui = Fi .

Такое может быть, только если в физической системе, рассчитываемой методом конечных элементов, узлы между собой не связаны, то есть по существу системы не существует. Однако теперь уже ясно, к чему надо стремиться: следует так выполнять процесс построения алгебраической системы уравнений, чтобы матрица по возможности содержала больше нулевых коэффициентов и была близка к диагональной, другими словами,

желательно, чтобы в каждое уравнение входило относительно небольшое число неизвестных в соседних узлах.

Матрицы, близкие к диагональным, обычно имеют ленточную структуру, когда все ненулевые и некоторые нулевые коэффициенты находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали.

Ленточную матрицу характеризует ширина ленты t = t1 t2 1, равная наибольшему числу коэффициентов в строке в пределах ленты. Для диагональной матрицы t = 1. При решении системы уравнений с ленточной

14

матрицей участвуют только те коэффициенты, которые расположены в пределах ленты. Число арифметических операций, необходимых для решения системы алгебраических уравнений с полностью заполненной матрицей

Для примера ленточной матрицы обратимся к задачам предыдущего

раздела, но с пятью узлами и шестью элементами на рисунке 1.1. Аналогично

(1.14) матрица K будет иметь коэффициенты flt . По смыслу flt они отличны от нуля только для тех узлов l , где перемещение узла t вызывает отличную

от нуля силу при условии, что остальные узлы, кроме t , неподвижны. Отсюда при нумерации узлов, показанной на рисунке 1.1, слева от оси x имеем:

Здесь t = 3 и матрица K является трехдиагональной.

При применении метода конечных элементов ширина полосы ленточной матрицы зависит от нумерации узлов. Например, если пронумеровать узлы так, как показано на рисунке 1.1, справа от оси x , то K

примет вид (1.21). Вообще если элементы имеют несколько узлов, то при t1 = t2 величина t1 равна максимальной по элементам величине наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе. В первом случае нумерации узлов слева на рисунке 1.1, t1 = 1, а при нумерации справа t1 = 2.

В некоторых случаях исходная постановка задачи может оказаться настолько плохой, что даже метод конечных элементов не может помочь. И

15

система близка к вырожденной. При этом незначительные изменения углов

1 , 2 сильно скажутся на координатах точки пересечения прямых, то есть на решении. Таким образом, плохая, обусловленность объясняется тем, что система является почти вырожденной.

В качестве примера обратимся к (1.22). Пусть 1 = 3 = и 2 , то eсть элемент 2 значительно более жесткий, чем элементы 1 и 3. При этом

tan 1 tan 2 и система (1.22) почти вырожденная. В данном случае разумно изменить постановку задачи и считать элемент 2 абсолютно жестким по сравнению с элементами 1 и 3. Это позволяет объединить узлы 1 и 2 в один

2 u12 = F12 ,

которое и даст решение задачи в этом приближении.

1.2. Континуальные задачи

Обратимся к задаче (1.3) для одного элемента. В общем случае задания

q(i ) (x) она является континуальной задачей. Для простоты положим c(i) = 1,

Для общности рассмотрим эту задачу при граничных условиях общего вида,

которые в дальнейшем для краткости будем называть ненулевыми граничными условиями:

17

В матричной форме уравнение (1.23) c граничными условиями (1.24)

будет иметь вид

при заданной нагрузке q(x) .

Согласно схеме метода конечных элементов, разобьем интервал [0,1]

на элементы, соединенные в узлах xi , i =1,2, ,n . Будем разыскивать приближенное решение задачи (1.23), (1.24) среди функций семейства с конечным числом параметров в виде:

комбинацией некоторых функций i (x) с коэффициентами (параметрами)

В остальном функции (x) , которые носят название пробных, можно выбирать в довольно широких пределах.

Общие требования к пробным функциям состоят в возможности выполнить процесс построения приближенного решения, т.е. на основе (1.26)

при n осуществить сколь угодно точно аппроксимацию любой функции,

среди которых разыскивается решение задачи.

18

Рисунок 1.3 - Пробные функции для стержня с закрепленными концами

Очевидно, выбор (x) играет важнейшую роль как в отношении

трудоемкости расчета, так и точности результата. Метод конечных элементов

оперирует в качестве (x) кусочно-полиномиальными функциями,

отличными от нуля в пределах небольшого числа элементов вблизи узла xi .

Именно это делает метод максимально эффективным.

Поскольку u(x) по своему физическому смыслу должна быть