Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.Н. Феофанова, Л. А. Исаева

А.В. Исаев, А. А. Ермакова

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Неопределенный и определенный интеграл

Учебное пособие

Волгоград

2015

1

УДК 517.3(075)

Рецензенты:

кафедра «Теория и методика обучения математике и информатике» Волгоградского государственного социально-педагогического университета, зав. кафедрой д-р пед. наук профессор

Т. К. Смыковская;

профессор кафедры «Математика и методика ее преподавания» Астраханского государственного университета,

академик Международной академии педагогического образования (МАНТО), профессор, д-р пед. наук Н. В. Аммосова

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

Феофанова, Л. Н.

Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл : учеб. пособие / Л. Н. Феофанова, Л. А. Исаева, А. В. Исаев,

А.А. Ермакова; ВолгГТУ. – Волгоград, 2015. – 128 с. ISBN 978–5–9948–1883–1

Вучебном пособии изложены основные теоретические положения, входящие в программу по математике высших технических учебных заведений. Большее число задач направлено на усвоение базовых понятий и на применение их в самостоятельном решении типовых задач. В завершение предлагаются тесты для подготовки к итоговому контрольному мероприятию и 30 вариантов индивидуальных контрольных заданий.

Предназначено для самостоятельной работы студентов.

2

Выражение f (x)dx называется подынтегральным выражением, функция f (x) – подынтегральной функцией, а переменная х – переменной интегрирования.

В итоге можно заметить, что неопределенным интегралом называется совокупность всех первообразных данной функции.

Действие нахождения неопределенного интеграла (первообраз-

ной) называется интегрированием данной функции f (x).

Примеры.

1.Найти закон движения точки, если известно, что точка движется

спостоянной скоростью V =V0 и в начальный момент времени t = 0 прой-

денный путь составил S = S0 .

Если точка движется по прямой по закону S = f (t), то, как известно, ее скорость V в любой момент времени t может быть найдена посредством дифференцирования:

V(t) = S′(t) = f ′(t)

Тогда обратная задача – определение закона (уравнения) движения точки по заданной скорости – решается посредством интегрирования. Путь, как первообразная скорости, имеет в данном случае вид

S =V0t + C, где С – константа.

Известно, что S(0) = S0, поэтому S0 = C и искомый закон движения имеет вид

S=V0t + S0

2.Найти закон движения точки, если известно, что точка движется со

скоростью V(t) =V0 + at (V0 и а – данные числа) и в начальный момент времени t = 0 пройденный путь составил S = SC .

Путь, как первообразная скорости V(t) =V0 + at , имеет вид

4

S(t) =V0t + a t2 + C , где С – константа.

2

Известно, что S(0) = S0, поэтому

S 0 =V0 0 + a2 0 + C, т. е. C = S0 . Искомый закон движения имеет вид

S(t) = a2 t2 +V0t + S0

3. Найти уравнение зависимости объема произведенной к моменту времени t продукции от величины t, если известен закон изменения со временем производительности труда в течение дня y =10t − t2 и в начальный момент времени t = 0 объем продукции составил V0.

Если V =V (t) объем произведенной за время t продукции, то производительность труда f (t) в любой момент времени t может быть найдена

посредством дифференцирования.

Тогда обратная задача – определение закона изменения объема произведенной продукции – решается посредством интегрирования

V(t) = ∫ f (t)dt

Объем произведенной продукции, как первообразная от производительности труда, имеет в данном случае вид

V = ∫(10t − t2)dt = 5t2 − t3 + C

3

Используя то, что V(0) =V0 , получаем V0 = C , т. е. искомое уравнение зависимости объема произведенной продукции от времени имеет вид

V = − t33 + 5t2 +V0

5

Найдем, например, сколько продукции будет произведено за первые три часа работы

V=V0 = − 332 + 5 32 = 36 (усл. ед.)

4.Найти уравнение объема продукции, если дано уравнение производительности труда

y=10x − 101 x2 (м2 / ч)

иизвестно, что к концу 6-го часа работы было произведено 222,8 м3 продукции.

5.На чертеже изображен график труда в течение дня (парабола). Производительность труда выражена в т/ч

V, т

2

Найти уравнение, связывающее объем произведенно1 продукции V

свременем t, если известно, что к началу рабочего дня он составлял V = 3t .

6.Пусть зависимость y = 101 (et −1) устанавливает связь количества

товара, поступившего на склад к моменту времени t, от величины t. Определить запас товаров на складе к концу 8-часового рабочего дня, если к началу рабочего дня на складе было 30,1 т товара.

6

1.2. Простейшие свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если F′(x) = f (x) , то

(∫ f (x)dx)′ = (F(x) + C)′ = f (x).

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

d(∫ f (x)dx)= f (x)dx.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы

∫(dF(x)) = F(x) + C .

Свойство 4. Постоянный множитель k можно выносить за знак интеграла

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx + C.

Свойство 5. Пусть λ1 ≠ 0 и λ2 ≠ 0 – действительные числа, а f1(x) и f2(x) – непрерывные на отрезке [a,b] функции. Тогда выражение

λ1 f1(x) + λ2 f2 (x) является линейной комбинацией функций f1(x) и f2(x).

Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций:

∫(λ1 f1(x) + λ2 f2 (x))dx = λ1∫ f1(x)dx + λ2 ∫ f2 (x)dx. Свойство 6. Если ∫ f (x)dx = F(x) + C , а k ≠ 0 и в – числа, то

∫ f (kx + b) = 1 F(kx + b) + C .

k

7

a

ственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Таким образом, из определения следует формула Ньютона– Лейбница:

b

∫ f (x)dx = F(x) ba = F(x = b) − F(x = a)

a

Из определения определенного интеграла можно вывести геометрический, физический и экономический смысл определенного интеграла.

b

1. Геометрический смысл: ∫ f (x)dx определяет площадь криволи-

a

нейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми x = a , x = b и отрезком [a,b] оси Ох.

2. Экономический смысл: если f (x) – производительность труда некоторого рабочего в момент времени t, то

t2

∫ f (x)dt = y

t1

выражает объем продукции, произведенной этим рабочим в течение промежутка времени [t1,t2 ].

3. Физический (здесь, механический) смысл определенного интеграла: если подынтегральная функция выражает зависимость скорости, с ко-

8

t2

торой движется материальная точка, от момента времени t, то ∫ f (t)dt оп-

t1

ределяет путь, пройденный ею за отрезок времени [t1,t2 ].

Свойство 1. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего преде-

ла, т. е.

Свойство 2. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме определенных интегралов

b b b

∫( f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx.

a a a

Свойство 3. Постоянный множитель k можно выносить за знак определенного интеграла

bb

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx.

aa

Свойство 4. Если на отрезке [a,b], a < b и f (x) ≤ g(x) , то

bb

∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .

aa

Экономический смысл этого свойства заключается в том, что при большой производительности труда (g(x) > f (x)) за данный промежуток времени будет произведено больше продукции.

Механический смысл: чем выше скорость движения, тем больший путь пройдет тело за время t = b − a .

Свойство 5. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a,b] и a ≤ b, то

9