Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

204

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

2.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

2. ∫

= ∫

+ t2

2∫

= 2∫

2sin x − cos x −1

1− t

4t −1+ t2 −1− t2

4t − 2

−

−1

1+ t2

+ t

= ∫

1 ln

2t −1

+ C = 1 ln

2tg

−1

+ C

2t −1

3. ∫

= ∫

= ln

+ C = ln

+ C

sin x

2dt

4. ∫

= t; x = 2arctgt; dx =

;

sin x =

. Кроме того,

(1+ sin x)2

1+ t2

4tdt

изменим пределы интегрирования: 0 ≤ x ≤

2 0 ≤ t ≤1

∫

(1+ t)4

1+ t −1

1+ t

= 4

dt = 4

dt −

dt = 4

−

∫0

(1+ t)4

∫0

(1+ t)3

∫0

(1+ t)4

= − 1

+ 2 + 1 −

1 .

= 4∫(1+ t)−3 dt − 4∫(1+ t)−4 dt = −

+ t)

3(1+ t)

Замечание. Метод интегрирования с помощью универсальной подготовки всегда приводит к цели, но часто он не является наиболее простым. Рассмотрим другие частные случаи, с помощью которых результат получается быстрее, а решение проще.

• В интегралах типа ∫sinnxsinmxdx, ∫sinnxcosmxdx, ∫cosnxcosmxdx

произведение тригонометрических функций преобразовывают в сумму по следующим формулам:

sinnxcosmx =	1		(sin(n + m)x + sin(n − m)x)
	2
cosnxcosmx =	1		(cos(n + m)x + cos(n − m)x)
	2
sin nxsinmx =	1	(cos(n − m)x − cos(n + m)x)
	2

Пример.

∫sin 2xcos3xdx = ∫			1	[sin(2x + 3x) + sin(2x − 3x)]dx =
			2
=	1				=	1	1		+ C =	1		1		+ C
=		∫sin5xdx − ∫sin xdx			=			(−cos5x) − (−cos x)	+ C =		cos x −		cos5x	+ C
	2					2	5			2		5

• Если в интегралах типа ∫sinn xcosm xdx оба показателя n и m поло-

жительные (или один равен 0) и четные, то применяют формулы понижения степени:

								cos2 x = 1+ cos2x ,													sin2 x =				1− cos2x ,						sin xcos x =							1 sin 2x .
																	2										2											2
					Пример.
2n				4	x							4	x					2n				x			x 4				2n		1			x 4
∫sin									cos						dx			= ∫	sin				cos				dx =		∫			sin					dx =
∫sin									cos					4	dx			= ∫	sin			4	cos		4		dx =		∫		2	sin					dx =
0					4									4				0				4			4				0		2			2
																4 x					2 x 2				1						2		1								2
																4 x					2 x 2				1						2		1								2
		1	2n											sin				= sin						=		(1− cos x)						=			(1	− 2cos x + cos						x)		=
			2n						x					sin			2	= sin			2			=	2	(1− cos x)						=	4		(1	− 2cos x + cos						x)		=
=				∫sin				4	x		dx	=					2				2				2								4
=	16			∫sin					2		dx	=			1								1								1 3								1
	16			0					2					=	1			− 2cos x +					1	(1+ cos2x)							1 3			− 2cos x +					1
														=			1	− 2cos x +						(1+ cos2x)					=					− 2cos x +						cos2x
															4								2								4	2							2
							1			2π		3							1								1	3x									sin 2x			2π	3π
							1			2π		3							1								1	3x									sin 2x			2π	3π
													− 2cos x +							cos2x dx =										− 2sin x +										=			.
													− 2cos x +							cos2x dx =										− 2sin x +										=			.
						64 ∫0						2							2								64		2									4		0	64
						64 ∫0																																		0

• Если в интегралах типа ∫sinn xcosm xdx хотя бы один показатель

нечетный, то применяют так называемый метод отщепления, который состоит в следующем: от нечетной степени отделяют множитель в 1-й степени, а основание другой функции заменяют новой переменной.

Примеры.

1. ∫sin2 xcos3 xdx = ∫sin2 xcos2 xcosxdx =

sin x = t

1sin3

1 sin5

cos xdx = dt

= ∫t

2 (1− t

2 )dt =

−

+ C =

x −

x + C

cos2 x =1− sin2

							cos x = t
2. ∫sin3 xcos5 xdx = ∫sin2 xcos5 xsin xdx =							sin xdx = −dt		=
							sin2 x =1− cos2 x
= −∫(1− t	2)t	5dt = −	t6	+	t8	+ C = − 1 cos6 x +		1cos8		x + C
= −∫(1− t	2)t	5dt = −		+		+ C = − 1 cos6 x +		1cos8		x + C
		6		8			6	8

• Если в интегралах типа ∫sinn xcosm xdx оба показателя четные и хотя бы один отрицательный, то применяют подстановку tgx =t . В результа-

те интеграл сводится к интегралу от рациональной функции. Примеры.

sin2 x

1. ∫cos6 xdx = ∫cos2 x

cos2 x

∫

(

)

= d(tgx);

=1+ tg2x

tg2x 1

+ tg2x d(tgx) =

cos

= ∫tg2xd(tgx) + ∫tg4xd(tgx) = tg3x

+ tg5x

+ C

2. ∫sindx4 x = ∫sin12 x sindx2 x = ∫(1+ ctg2x)(−dctgx) =

= −∫d(ctgx) −∫ctg2xd(ctgx) = −ctgx − ctg3x + C 3

• Интегралы типа ∫tgnxdx(∫ctgnxdx) берутся с помощью подстанов-

ки tgx = t (ctgx = t) и формул 1+ tg

x =

+ ctg

x =

cos

sin

Пример.

∫

xdx =

x tgxdx =

−1 tgxdx =

tgx

−

tgxdx =

cos

= ∫tgxd(tgx) − ∫tgxdx = tg2 x

+ ln

cos x

+ C

Замечание. При вычислении определенного интеграла необходимо:

• воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница

∫ f (x)dx = F(x) ba = F(b) − F(a);

• если выполнена замена переменной, то обязательно изменение пределов интегрирования.

Примеры.

π
2	π
1. ∫(2sin x − 3cos x)dx = (−2cosx − 3sin x)	02	= 2 − 3 = −1
		= 2 − 3 = −1

0

2sin x

2.∫0 (1+ sin x)2 dx.

Для решения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой и изменим пределы интегрирования:

= t;

cos x=

1− t2

0 ≤ x ≤

sin x

dx =

1+ t2

;

∫(1+ sin x)2

2dt

dx =

sin x =

0 ≤ t ≤1

;

1+ t2

1 1+ t −1

2dt

1+ t2

= ∫0

∫0

dt = 4∫0

dt =

1+ t2

(1+ t)4

+ t

1 1+ t

= 4∫

dt − 4∫

dt = 4∫

− 4

∫

(1+ t)4

(1+ t)3

(1+ t)4

= −

= − 1

+ 2 +

−

= 1.

(1+ t)2

3(1+ t)3

3tg2x

3.∫0 4 + 3cos2x dx.

Сделаем замену t = tgx, тогда

x = arctgt, dx =

, cos2x = 2cos2

x −1=

−1

1− t

+ t2

1+ tg2x

1+ t2

Пределы интегрирования: t1 = tg0 = 0, t2 = tg π3 = 3.

Интеграл запишется следующим образом


	3		t2					dt				3			t2dt				3			t2dt			3 t2 + 7 − 7dt
∫											= ∫						= ∫							= ∫						=
∫				1− t2				1+ t2			= ∫			4 + 4t2 + 3− 3t2			= ∫				7 + t2			= ∫			7 + t2			=
0 4 + 3				1	+ t2					0								0					0
				1	+ t2

																					3
3
3							7								1		t											3
		= ∫					7								1		t											3
			1		−					dt =			t − 7			arctg					=		3 −			7arctg			.
						7	+ t		2																			7
									2						7		7
0															7		7			0
0																				0

	Примеры для самостоятельного решения
1.	∫sin4x cos2xdx	2.	∫(sin3x + cos3x)3dx
3.	∫sin2 x sin3xdx		cos5 x
		4.	∫ sin6 xdx

5.	∫cos4 xdx
7.	∫sin2 xcos xdx
9.	∫		dx

		sin6 x
11.	∫cos2 x dx
		sin x
13.	∫			dx

		2sin x − 3cos x

15.	∫	3sin x − 5cos x			dx

		2sin x + 7cos x
	π
	3
17.	∫3 sin2 x cos xdx
	0

2sin2x

19.∫0 1+ cos2 xdx

6.	∫sin xcos3 xdx
			sin4 x
8.	∫cos6 x dx
10.	∫sin2 xcos4 xdx
12.	∫		sin2x
				dx
			cos7 x
14.	∫		cos4x		dx
			cos2x + sin2x

16.	∫	1+ tgx		dx

		1− tgx
	π
18.	4		2sin x + 6cos x		dx
	∫		sin2x
	π
	6

4tg2x − 3

20.∫0 1− sin2 x dx

2π								π
21. ∫ sin	3	xdx						2
21. ∫ sin		xdx					22.	∫ cos2xdx
−π							22.	∫ cos2xdx
								−π
								4
π					π			π	x
2					2	cos x		25. ∫sin2	x	dx
2			3		2	cos x		25. ∫sin2		dx
23. ∫sin xcos				xdx	24. ∫		dx	−π	2
23. ∫sin xcos				xdx	24. ∫	1+ cos x	dx	−π	2
π					0	1+ cos x
6

2.6. Некоторые иррациональные выражения, их интегрирование

•Интегрирование простейших иррациональных функций вида

∫R(x;n1xm1 ;n2xm2 )dx сводится к интегралу от рациональных функций с по-

мощью подстановки x = tk , где k – наименьшее общее кратное чисел n1 и n2 . Пример.

x = t

∫

dx =

= ∫

6t5dt = 6∫

t dt

dx = 6t5dt

1+ 3

1+ t2

(t8 −1) +1

(t4 )2 −1

4 −1)(t4 +1)

+ t2

1+ t2

1+ t

1+ t2

(t2 −1)(t2 +1)(t

4 +1)

= t6

− t

+ t2 −1+

1+ t2

+ t

6∫t6dt − 6∫t4dt + 6∫t2dt − 6∫dt + 6∫1+dtt2 =

= 76 t7 − 65 t5 + 63t3 − 6t + 6arctgt + C , где t = 6x .

•Аналогично интегрируются иррациональные функции вида

∫R(n1(ax + b)m1 ; n2(ax + b)m2 ) подстановкой (ax + b) = tk , где k – наимень-

шее общее кратное чисел n1 и n2 и иррациональные функции вида

ax + b

∫

R n1

;

подстановкой

= tk

, где k – наимень-

cx + d

+ d

cx + d

шее общее кратное чисел n1

и n2 и cx + d ≠ 0 .

Примеры.

x + 4 = t2

x = t2 − 4

x + 4

(x + 4)

(t2 )

1. ∫

dx = ∫

dx =

∫

2tdt = 2∫

dt =

dx = 2tdt

t2 − 4

t =

x + 4

t − 2

= 2

dt + 8

= 2t

+ 8

+ C =

∫

− 4

∫

∫t

− 2

t +

t − 2

2 −

x + 4

= 2t + 2ln

+ C = 2

x + 4 + 2ln

+ C

t + 2

2 +

x + 4

2x − 3 = t4

2x = t4

+ 3

2x + 2x − 3

2x + (2x − 3)

dx =

∫34 2x − 3 + 4 (2x − 3)3

∫3(2x − 3)

+ (2x − 3)

2dx

= 4t3dt

dx = 2t3dt

+ 3+ (t4 )2

t4 + t2 + 3

+ t4 + 3t

= ∫

3dt = 2∫

t3dt = 2∫

dt =

3t + t3

t2 + 3

3(t4 )4 + (t4 )4

= 2

∫

−

+ 9 −

−

+18t

−

arctg

+ C ,

+ 3

где t = 4 2x −3 .

3x +1= t4,

3dx

t = 4 3x +1,

3. ∫

3dx = 4t3dt, 0 ≤ x ≤ 5,

= ∫

dt = 4∫t

2dt = 4

= 28

3x +1

4t3dt;

1≤ t ≤

dx =

2tdt

1+ x

, dx = −

4. ∫

= t2 x =

t2 −1

(t2 −1)2


Изменим пределы интегрирования: t =											1+ x :1≤ x ≤ 2								≤ t ≤			3
Изменим пределы интегрирования: t =											1+ x :1≤ x ≤ 2							2	≤ t ≤			3
												x									2

	3						3
	3						3					3
2					2							3
		−2tdt							2					2	3	3					8 − 3 3
												2
I = ∫ t(t2 −1)2						= −2 ∫ t		2dt = −		t3		2	= −				− 2 2			=

		(t	2	−1)	2				3					3	2	2
			2		2																3 2

												2
2					2
2					2

Примеры для самостоятельного решения

1. ∫(x −dx1)x

3. ∫ 1x+−3xxdx

5.∫ x +1 − x −1dx

x +1 + x −1

	(3		)(		+1)dx
7. ∫		x +1		x

		6 x5

9. ∫ 3(2x +1)2 + 2x +1

11. ∫x +1dx

11− x

13.∫0 1+ xdx

9dx

15.∫4 x −1

1 x3dx

17.−∫1 x2 + 2

2. ∫ 3xx+ 5dx

x+1

4.∫ 33x +1

x3dx

6. ∫x −1

8. ∫	x2
	x2	+ 1+ x

		3
			1+ x

10. ∫ xx ++11 +−11dx

3dx

12.∫0 4 − 3x

1 x +1

14.∫0 33x +1dx

4dx

16.∫0 x + 2x +1

18. ∫ 1x−(x+x1)dx

2.7.Тригонометрические подстановки

Кинтегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

• ∫R(x,

)dx с помощью подстановки x = asint

a2 − x2

или x = acost

• ∫R(x,

)dx с помощью подстановки x = atgt

a2 + x2

• ∫R(x,

)dx с помощью подстановки x =

x2 − a2

или x =

cost

sint

Примеры.

x = 2sint; dx = 2costdt; t = arcsin

1. ∫

4 − x2 dx =

Изменим предел интегрирования: 0 ≤ x ≤1 0 ≤ t ≤

0 π

0π/6 = π +

∫

4 − 4sin2 t 2costdt = 2∫ 6 (1+ cos2t)dt = 2t

+ sin 2t

2. ∫

x + 0,5

2x +1= 3tgt

dx =

dt; (2x +1)

+ 9 = 9(tg

+1) =

+ 9

2dx=

cos2 t

(2x +1)2

cos2t

∫

3tgt

∫

sint

∫

d(cost)

= −

+ C,

cos2t

cost

4cost

cos2t

где t = arctg

2x +1

x =

sint

cost

3. ∫

= ∫

cos2 t

x2 − 4

dx = 2

sintdt

− 4

cos2 t

cost

cos2 t

= ∫

sintcostdt

∫sint costdt =

∫dt =

1 t + C =

1 arccos

+ C

cos2 t 2

1− cos t

2 costsint

cos2 t

Примеры для самостоятельного решения

x2dx

1.∫(2 − x2 )3

3. ∫x − x2 dx

5. ∫2 − x − x2 dx

7. ∫2 x2 −1 dx

9.∫ xdxx2 −1

	2							dx
11.	∫							dx


				(4 + x2 )
	0			(4 + x2 )								4 + x2
	2
	2			x2 −1
13.	∫							dx
13.	∫			x4				dx
	1
		(								)3
	5	(			25 − x2					)3
15.	∫					x	4					dx
	2,5					x
	2,5
	1
17.	∫		1+ x2 dx
	0

	2	2						x4dx
19.	∫

				(							)
				(					2		)			2
	0				16 − x				2				16 + x	2
					16 − x								16 + x