Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x) = 2x2 + x − 3, x [1,6] ;

f (x) = sin x,

, x [−1,1];

.pdf

Скачиваний:

208

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a).

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определенный интеграл изменит знак

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx.

Свойство 7. Для любых трех чисел a < c < b справедливо равенство

b c b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,

a a c

если только все три интеграла существуют.

Свойство 8. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство

∫ f (x)dx = (b − a) f (c) .

	1		b
Из свойства 5 получим m ≤	1		∫ f (x)dx ≤ M . Следовательно, суще-
Из свойства 5 получим m ≤		b − a	∫ f (x)dx ≤ M . Следовательно, суще-
		b − a	a
			a
				1	b
ствует точка c [a,b], такая, что	f (c) =			1	∫ f (x)dx.
ствует точка c [a,b], такая, что	f (c) =			b − a	∫ f (x)dx.
				b − a	a
					a

f (c) называется средним значением функции на отрезке [a,b]

1. Геометрический смысл свойства 8 состоит в следующем.

Левая часть равенства – площадь криволинейной трапеции с основанием [a,b]. В правой его части – площадь прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f (c) .

Итак, на промежутке [a,b] существует по крайней мере одна точка с такая, что f (c) есть длина высоты прямоугольника, равновеликого данной криволинейной трапеции.

2. Механический смысл свойства 8:

f (c) – средняя скорость движения тела на отрезке времени [a,b].

3. Экономический смысл этого свойства заключается в том, что если f (t) выражает производительность некоторого рабочего в момент времени t,

то ∫ f (t)dt – объем продукции, произведенной рабочим за отрезок времени

	b
T = b − a . Следовательно,	∫ f (t)dx	= f (c) –
	a		средняя производительность
	b − a		средняя производительность
	b − a
рабочего на данном отрезке времени, а t = c			– момент времени, в которой

производительность совпала со средней.

На практике вычисляется средняя производительность труда, средние издержки производства и т. д.

Определим средние издержки производства (средние затраты на производство 1 единицы продукции), если переменные издержки производства определяются формулой

K(x) = 500 − x

(х – количество производственных единиц продукции) и объем производства составляет от 50 до 60 единиц.

Среднее значение функции K(x) находим по формуле

∫(500 − x)dx

		K(c) =		50
					60 − 50

Так как
60			x2		60	4450

∫	(500 − x)dx =	500x −			= 4450, K(C) =		= 445
			2			60 − 50
50					50

Найдем с из равенств: K(x) = 500 − x и K(c) = 500 − c = 445 c = 55.

Итак, средние издержки производства составляют 445 единиц. Этого уровня они достигают при объеме производства в 55 единиц.

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить среднее значение функции f (x) на промежутке [a,b],

если:

г) f (x) = x2 , x [a,b]

2. Определить среднюю производительность труда рабочего в течение восьмичасового рабочего дня, если производительность труда с тече-

нием времени изменяется по закону V (t) = − 15t2 + 3t + 30 .

3. Найти среднее значение издержек производства K(x) = 3x2 − 4x +1, если объем производства меняется от 5 до 10 единиц. Указать объем производства, при котором издержки принимают среднее значение.

4. Прибыль, получаемая предприятием, прямо пропорциональна объему производства P(x) = 13 x .

Определить среднее значение прибыли, если объем производства изменяется от 10 до 12 тысяч единиц.

2.СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.1.Непосредственное интегрирование

Интегрирование, основанное на применении таблицы интегралов,

свойств неопределенного интеграла, а также простейших тождественных преобразований подынтегральной функции, принято называть непосред-

ственным интегрированием.

Примеры.

∫

1− x

dx =

1− x =1− (3

)3 = (1− 3

)(1+ 3

+ 3

)

1− 3 x

(1− 3

)(1+ 3

+ 3

)

2 3

= ∫

dx = ∫ 1

+ x3 + x3

dx = x + 3 3

x4 +

x5 + C.

−

1+ x

− x

2. ∫

(

)

1+ x

x2 (1+ x2 )

−

x2 (1+ x2 )

1+ x2

= ∫

dx −

∫

= ∫x−2dx − ∫

= −

− arctgx + C.

1+ x2

3. ∫

sin2 x + cos2 x

sin2 x

cos2 x

sin2 x cos2 x

= ∫

+ ∫

= tgx − ctgx + C.

cos2 x

sin2 x

cos2 x

sin2 x

2-й способ решения. Заметим, что sin2α = 2sinα cosα

sin

x cos

x =

(sin x cos x)

sin

sin2x =

∫

= ∫

= 4∫

= 2

∫

d(2x)

= −2ctg2x + C.

sin2 x cos2 x

1 sin2

sin2 2x

sin2 (2x)

Чтобы проверить правильность ответа, рекомендуется делать про-

верку найденного результата дифференцированием:

sin2 x + cos2 x

• (tgx − ctgx + C)′ =

cos2 x sin2 x =

cos2 x

sin2 x

cos2 x sin2 x

• (−2ctg2x + C)′ = 2

2 =

sin2 2x

(sin 2x)2

4sin2 x cos2 x

cos2 x sin2 x

∫sin3 5xd(sin5x) = sin4 5x + C

(

+1)2

−1

∫

x + 2 x +1

∫

dx =

1+ 2x 2

dx =

= ∫dx + 2∫x−

2dx + ∫1dx = x + 4

+ ln

+ C

Задания для самостоятельного решения

∫dx

2. ∫d(x2 +1)

3. ∫d(5x − 4)

4. ∫e−xd(−x)

∫tg(4 − x)d(4 − x)

6. ∫

d(cos x)

cos2 x

7. ∫3x d(x)

d(arctgx)

9.∫ arctgx

d(ex )

11.∫cos2 (ex )

13.	∫	2x dx =	2x	+ C
13.	∫	2x dx =	ln 2	+ C
			ln 2
15.	∫	1 cos xdx =		1 ∫cos xdx =	1 sin x + C
		2		2	2
17.	∫(5sin x − 6x)dx = ∫5sin xdx − ∫6xdx

8. ∫ex2 d(x2 )

10.

∫

d(lnx

)

lnx

12.

∫x3dx =

x3+1

+ C =

+ C

3+1

14.

∫2

= 2∫

= 2ln

+ C

16.∫(5x4 − 3x2 + 2x +1)dx

=5(−cos x) − 3x2 + C = −5cos x − 3x2 + C

18.

∫

− 3

x dx =

∫

− 3∫x2dx =

2 x −

+ C = x − 2x2 + C = x − 2x x + C

19.

∫

(x + 5)2

20.

∫(1−

)2dx = ∫(1− 2

+ x)dx = ∫dx − 2∫x2dx − ∫xdx = x −

+ C

∫

1− x

∫

21.

dx =

dx = 3

dx = 3arcsin x + x + C

− x

∫

− x

1− x

∫

1− x

22.

∫

x −1

23.

∫

= ∫

∫

arcsin x + C

3 − 3x2

3(1− x2 )

1− x2

24.

∫

(sin x − cos x)dx

(cos x − sin x)3

25.

tg2 xdx =

sin2 xdx =

1− cos2 xdx =

−1 dx =

− dx = tgx − x + C

∫

∫cos

∫

cos

∫

∫cos

∫

cos

1+ cos2 x

26.

∫

1+ cos2xdx

= ∫ 2cos2 x dx

= 2

∫

∫dx =

2tgx +

2 x + C

cos2 x

27.

∫(sin x + cos x)2dx

2.2. Замена переменного

Метод замены переменной является одним из основных методов вычисления интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл и свела бы его к табличному.

Правило 1. Чтобы по таблице находить интеграл от степенной функции, надо под знаком дифференциала иметь основание степени:

Uα+1

∫UαdU = α +1 + C, если α ≠ −1.

∫dUU = ln U + C, если α = −1

Примеры.

1. ∫(2x − 3)5 d(2x − 3) = (2x − 3)6 + C 6

2. ∫cos7xd(cos x) = cos8 x + C 8

3. ∫d(5x − 7) = ln 5x − 7 + C 5x − 7

4. ∫	d(	x − 5)
	d(	x − 5)	= 2 x − 5 + C

		x − 5
		x − 5

Если правило 1 нарушено, то основание степенной функции надо обозначать за новую переменную.

Примеры.

2x − 3 = t

1. ∫

(2x − 3)2 dx =

x =

t + 3

= ∫t2

1dt =

+ C = 1

(2x − 3)3

+ C

dx =

1 dt

2. ∫cos7 x sin xdx =

cos x = t

= −∫t

7dt = −

+ C = −

cos8

x + C

sin xdx = −dt

2 − 3x = t

= − 1ln

+ C = − 1ln

3. ∫

−3dx = dt

= −

∫

2 − 3x

+ C

2 − 3x

dx = −1 dt

Правило 2. Чтобы по таблице интегралов взять интеграл от показательной функции, надо под знаком дифференциала иметь показатель сте-

пени: ∫aU dU =	aU	+ C;		∫eU dU = eU + C .
	lna

1. ∫2x2 d(x2 ) =			2x2	+ C
			ln2

2.∫etgxd(tgx) = etgx + C

3.∫exd (x)= ex +C

Если это правило нарушено, то показатель степени надо обозначить за новую переменную.

Примеры.

x2 = t

1 ∫2t dt =

1. ∫2x2 xdx =

2xdx = dt

+ C =

+ C

2ln2

1 dt

2 ln2

x dx =

2. ∫etgx

tgx = t

= ∫etdt =et + C = etgx + C

= dt

cos2 x

cos2

x = t

3. ∫e

= dt

= 2∫etdt = 2et + C = 2e

+ C

= 2dt

Правило 3. Чтобы найти по таблице интеграл от тригонометрической функции, надо под знаком дифференциала иметь аргумент данной

тригонометрической функции: ∫sinUdU = −cosU + C;

∫cosUdU = sinU + C; ∫tgUdU = −ln	cosU	+ C; ∫		dU	= arcsinU + C
				dU

			1−U 2
			1−U 2

Примеры.

∫sin2xd(2x) = −cos2x + C

∫

= tg

+ C

cos

∫

d(5x)

= arcsin(5x) + C

1− (5x)2

Если это правило нарушено, то аргумент данной тригонометрической функции надо обозначить за новую переменную.

Примеры.

3x = t

1. ∫cos3xdx =

x =

= 1

∫costdt = 1sint + C =

1sin3x + C

dx =

1 dt

= t

x = 3t

= 3

= 3tgt

+ C

= 3tg

+ C

∫

∫cos

cos

dx = 3dt

2x = t

3. ∫

∫

x =

1 t

1 ∫

− 4x2

− (2x)2

1− t2

dx =

1 dt

= 1 arcsint + C =

1 arcsin 2x + C

Вывод. Для всех вышерассмотренных случаев удобно применять следующую формулу:

∫ f (kx + b)dx = 1F(kx + b) + C,

если аргумент основной функции является линейной функцией от х. Примеры.

1.∫tg3xdx = − 13ln cos3x + C

2.∫1+dx4x2 = 12 12 arctg2x = 14 arctg2x + C

3.∫e−xdx = −e−x + C

Задания для самостоятельного решения

Найти неопределенные интегралы

1. ∫ex3 x2dx

2. ∫(e3x − e−3x )2dx

3. ∫

1+ ln x

4. ∫

exdx

1+ e2x

5. ∫

6. ∫

sin2x

1+ cos2 x

x6 + 4

7. ∫ln

xxdx

8. ∫

sin2xdx

1+ cos2 x

x2 + ln x2

10.

tg(x +1)

9. ∫

∫cos2(x +1)

11. ∫arcsin3 xdx

12. ∫

x + arctg

1− x

1+ x

13. ∫

cos xdx

2π

x + cos x

14.

∫

3 sin2 x

x2 + 2sin x

e2 +11+ ln(x −1)

x + arctg4x

15. ∫

16.

∫

x −1

1+ x2

e+1

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.202553 Кб1осн законодательства.docx
#
16.09.20197 Мб87Основная часть.docx
#
01.07.202595 Кб1Основные денежные реформы.doc
#
01.07.2025101 Кб0Основные понятия.doc
#
14.03.20162 Мб151Основы выездки и езды.pdf
#
14.03.20163 Мб208Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл.pdf
#
16.08.2019113 Кб39Основы налогов. Лекция 8.doc
#
26.08.2019293 Кб49Основы теории транспортных процессов и систем.doc
#
01.04.2025545 Кб4Основы экономики.doc
#
14.03.20162 Мб48ОсновыКомпПроект_ИвановЕрещенко.pdf
#
24.09.2019271 Кб29ОсновыПолитСоциологии_для всех специальн.doc