2. Тройной интеграл

Литература. [4], гл. XIV, § 11, 12, упр. 65, 66; § 13, упр. 67; § 14, упр. 68, 69; [5], задача 2268.

Можно использовать также [9], ч. II, гл. I, § 7, 8.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется тройным интегралом от функции f(x, у, z) по пространственной области V? Укажите его механический смысл.

2. Что называется трехкратным интегралом от функции f(x,y,z) По области V? Как он вычисляется?

3. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

4. Выведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах.

5. Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.

6. Каков механический смысл интеграла

где у(х, у, z)V — непрерывная функция в области V? Напишите формулы для вычисления координат центра тяжести тела V, объемная плотность которого γ=γ(x, y, z).

Тема XVI. Криволинейные и поверхностные интегралы

1. Криволинейные интегралы; их определение, свойства и приложения

Литература. [4], гл. XV, § 1, 2, упр. 1, 3, 6, 7; § 4 «Замечание»; [5], гл. VII, § 9, задачи 2295, 2312, 2323, 2336, 2338, 2343; [9], ч. II, гл. II, § 1, 4.

В [4] рассмотрены два типа криволинейных интегралов — криволинейный интеграл по координатам и криволинейный интеграл по длине дуги. Определение криволинейного интеграла по координатам (интеграла от векторной функции) дано в § 1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги приведено в конце § 4 (см. замечание в конце § 4).

2. Формула Грина.

Условные независимости криволинейного

интеграла от пути интегрирования

Литература. [4], гл. XV, § 3, 4; [5], гл. VII, § 9, задачи 2318 (а, б, г), 2322 (а, б), 2328, 2329; [9], ч. II, гл. II, § 2, 3. Криволинейный интеграл

зависит, вообще говоря, не только от подынтегрального выражения, начальной и конечной точек пути интегрирования, но и от самого пути интегрирования. Однако для большого и важного класса подынтегральных выражений криволинейный интеграл (1) оказывается независящим от пути интегрирования или, что равносильно, интеграл (1), взятый по любому замкнутому контуру L, лежащему в рассматриваемой области D, оказывается равным нулю.

Пусть функции Х(х, у), Y(x, у) вместе со своими частными производными инепрерывны в и. Тогда для того чтобы криволинейный интеграл (1) по любому замкнутому контуруL, лежащему в D, был равен нулю, необходимо и достаточно выполнения равенства =во всех точках областиD. В этом случае выражение Xdx+Ydy является в области D полным дифференциалом некоторой функции U(x, у), т. е. Xdx+Ydy=dU. Здесь существенно, что рассматриваемая область D является односвязной (односвязной называется такая область, для которой любой расположенный в ней замкнутый контур можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы области). Если область D не является односвязной, то выполнение в ней всех остальных указанных выше условий не влечет за собой равенство нулю криволинейного интеграла (1) по любому замкнутому контуру L в D.

Пример. Пусть область D представляет собой кольцо, заключенное между окружностями с радиусамиR и r и центром в начале координат О, a L — окружность с тем же центром и радиусом a(r<a<R) (рис. 3). Окружность L, очевидно, принадлежит области D; ее можно задать в параметрической форме уравнениями x=acost, y=asint, причем если обходить эту окружность в положительном направлении (против часовой стрелки), то параметр возрастает от 0 до 2π. Тогда

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L оказался не равным нулю, хотя функции и их частные производныеинепрерывны и=во всей областиD (проверьте!). Здесь дело в том, что область D неодносвязна (окружность L не может быть непрерывной деформацией стянута в точку, если не выходить за пределы кольца).

Если вместо кольца рассматривать круг радиуса R, то эта область окажется односвязной; в этом случае функции X, Y и их частные производные не являются непрерывными в этой области (непрерывность нарушается в точке О).