Тема IV. Введение в математический анализ

1. Число. Переменная. Функция

Литература. [4], гл. I, § 1—5; [5], гл. I, § 1, (п. 1°), задачи 1—3; гл. X, § 1, задачи 3108—3127; [4], гл. I, § 6, упр. 1—6, § 7, упр. 8—10, 12, 14, 16, 18, 28, 29, 34, 39, 40; § 8, упр. 7; § 9; [5], задачи 7, 8, 161—163, 12, 14, 17, 20, 21, 41, 42, 26.

Рекомендуется также прочитать из [11] § 1.4—1.11 и § 3.1, где содержится более полное и более строгое изложение понятий действительного числа и функции.

Если известен график функции y=f(x), то график функции вида y=kf(mx+b)+a можно построить последовательным преобразованием графика функции y—f(x).

Покажем, например, как с помощью таких преобразований можно построить график функции у=-2sin(2*+2) исходя из известного графика функции y=sinx. От функции y=sinx к функции у =-2sin(2x+2) можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований:

Геометрически это приводит к следующим построениям (рис. 1):

1. Строим волну синусоиды y = sinx; 0≤х≤2π.

2. Отмечаем на синусоиде несколько точек и уменьшаем в два раза их абсциссы, не изменяя ординат; таким образом, мы отображаем точку (х; у) в точку (x₁; y₁), где x₁=x/2, y₁=y. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции y₁=sin2x₁, являющийся результатом «сжатия» графика функции y=sinx коси Оу в два раза.

3. Увеличиваем ординаты точек, построенных в предыдущем пункте, в два раза, а затем меняем их знаки на противоположные, не изменяя абсцисс; таким образом, мы отображаем точку (х₁; у₁) в точку (х₂; у₂), где у₂=-2у₁, x₂=x₁. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у₂=-2sin2x₂, являющийся результатом «растяжения» графика функции y₁=sin2x₁, от оси Ох в два раза с последующим зеркальным отражением графика от оси Ох.

4. Переносим точки, построенные в предыдущем пункте, на —1 в направлении оси Ох (т. е. на единицу влево); таким образом, мы отображаем точку (х₂, у₂) в точку (X, Y), где Х=х₂—1, Y=y₂. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции Y=-2sin2(X+1)=-2sin(2X+2), являющийся результатом «сдвига» графика функции у₂=-2sin2x₂ на -1 в направлении оси Ох. Искомый график функции y=-2sin(2x-2) построен.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

2. Что называется погрешностью, предельной абсолютной погрешностью и предельной относительной погрешностью?

3. Как записываются приближенные числа?

4. Каковы правила арифметических действий с приближенными числами'

5. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

6. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

7. Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

8. Какая функция называется сложной' Приведите примеры.

9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

10. Как, зная график функции y=f(x), можно построить графики функций y=f(mx), y=f(mx+b), y=kf(mx+b)+a?

2. Предел и непрерывность функций

Литература. [4], гл. II, § 1—5, упр. 1, 4, 6, 8—14, 18, 19; § 6, упр. 31—33, 35, 37—40; § 7, 8, упр. 41—44, 46, 48, 49; § 9, упр. 2, 3, 21—23, 25—30, 45, 47, 57, 59; § 10, 11, упр. 60—62; [5], гл. I, § 3.

Можно использовать также пособия [5], гл. I, § 3—5 и [9], ч. I, гл. VI, § 1—6.

Рекомендуется также прочитать из [11] гл. 2 и 3, где дано углубленное изложение материала.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

3. Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющей предел.

4. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

5. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?

6. Докажите основные теоремы о пределах функций.

7. Докажите, что («первый замечательный предел»).

8. Сформулируйте определение числа е («второй замечательный предел»).

9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?

10. Сформулируйте теорему об области непрерывности элементарных функций.

11. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

12. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.

13. Покажите, что при x→0 бесконечно малые sinx, arcsinx, tgx, arctgx попарно эквивалентны.

14. Пусть х→0. При каком значении а бесконечно малые asin²x и 1—cosх эквивалентны?

После изучения темы IV выполните контрольную работу 3.