матемтика 5

Решение. Три вектора образуют базис в пространстве, если они некомпланарные. Условием некомпланарности трех векторов является неравенство нулю их смешанного произведения. Проверим это условие для векторов . Составим определитель

∆=

2     4     1     1     3     6     5     3     1

=

=

2

·

3   6   3   1

-

4

·

1   6   5   1

+

1

·

1   3   5   3

=74≠0

Так как , то векторы некомпланарны и образуют базис. Вектор в этом базисе имеет вид

(1.1)

где – координаты вектора в базисе векторов . Из уравнения (1.1) получаем систему уравнений

Систему можно решить по формулам Крамера и методом Гаусса.

∆=

2     1     5     4     3     3     1     6     1

=74

∆1=

24     1     5     20     3     3     6     6     1

=

=

24

·

3   3   6   1

-

1

·

20   3   6   1

+

5

·

20   3   6   6

=148

∆2=

2     24     5     4     20     3     1     6     1

=0

∆3=

2     1     24     4     3     20     1     6     6

=296

определитель вычислен разложением по элементам первого столбца.

x1 =	∆1	=	148	=	2
	∆		74

x2 =	∆2	=	0	=	0
	∆		74

x3 =	∆3	=	296	=	4
	∆		74

Вектор в базисе имеет координаты (2,0,4)

Задание 95. Даны координаты вершин пирамиды: A₁(10,6,6), A₂(-2,8,2), A₃(6,8,9), и A₄(7,10,3).

Найти: 1) длину ребра 2) угол между ребрами 3) угол между ребрами и гранью 4) площадь грани 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой 7) уравнение плоскости 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение. Вычислим координаты векторов =(12,2,-4), =(-4,2,3), =(-3,4,-3).

Координаты вектора определяются как разность координат конца и начала вектора:

1) длина ребра равна модулю вектора

2) угол вычислим как угол между двумя векторами и из формулы скалярного произведения данных векторов:

откуда

3) угол между ребром и гранью (плоскостью) вычислим по формуле , где есть нормальный вектор плоскости и – направляющий вектор прямой .

Координаты нормали найдем как векторное произведение векторов и

=

=

=(-3,4,-3)

4) площадь грани найдем, используя геометрический смысл модуля векторного произведения. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на смежных сторонах. Площадь грани (треугольника) будет равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и :

=

5) объем пирамиды найдем из геометрического смысла смешанного произведения трех векторов:

=

12     2     -4     -4     2     3     -3     4     -3

=

=

12

·

2   3   4   -3

-

2

·

-4   3   -3   -3

+

(-4)

·

-4   2   -3   4

=

=

-218

=36.33(ед.³)

6) канонические уравнения прямой имеют вид:

где – фиксированная точка прямой, а – направляющий вектор прямой. За данную точку возьмем точку A₁(10,6,6), а за направляющий вектор=(12,2,-4), тогда имеем:

7) уравнение плоскости запишем как уравнение, плоскости, проходящей через данную точку, например , перпендикулярной вектору найденному в п. 3.

10(x-14)+6(y+20)+6(z-32)=0

5(x-14)+3(y+20)+3(z-32)=0

5x+3y+3z-106=0

8) высота, опущенная из вершины на грань имеет направляющим вектором нормаль к плоскости , тогда канонические уравнения высоты имеют вид:

Сделаем чертеж.

Задание 105. Даны вершины A ( -3; -2), B (4; -1), С (1; 3) трапеции

ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

Решение.

Найдем координаты точки D(x,y). Уравнение прямой BC:

Направляющий вектор данной прямой (-3,4). Прямая AD проходит через точку A параллельно прямой BC.

Уравнение прямой AD  составим по точке A (-3; -2) и направляющему вектору (-3,4)

Диагонали трапеции AC и BD перпендикулярные, значит скалярное произведение векторов и равно нулю. Находим координаты векторов и : =(1-(-3);3-(-2))=(4;5), =(x-4;y-(-1)=(x-4;y+1). =(4(x-4)+5(y+1)=0.

Прямые AВ и BD пересекаются в точке D.

Находим координаты точки D из системы.

2y=29,

y=14,5

-4x-3∙14,5=18

-4x=61,5

x=-15,375

Точка D имеет координаты (-15,375;14,5)

Задание 115. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат Требуется: 1) построить линию по точкам, давая значения через промежуток , начиная от до 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по уравнению в прямоугольной декартовой системе координат определить, какая это линия

Решение. 1) построим таблицу значений функции:

№					№
1	0	1	0,25		10		– 0,92	6,57
2		0,92	0,26		11		– 0,71	1,71
3		0,71	0,29		12		– 0,38	0,81
4		0,38	0,36		13		0	0,50
5		0	0,50		14		0,38	0,36
6		– 0,38	0,81		15		0,71	0,29
7		– 0,71	1,71		16		0,92	0,26
8		– 0,92	6,57		17		1	0,25
9		– 1

2) заданное уравнение перепишем в виде .