матемтика 5

Ответ:

	x1 = 3
	x2 = 1
	x3 = 1

2) средствами матричного исчисления

A=	2     -1     -1     3     4     -2     3     -2     4

B=

4 11 11

X=

x1 x2 x3

A · X = B, значит X = A^-1 · B Найдем детерминант матрицы А

det||A|| =

2     -1     -1     3     4     -2     3     -2     4

=

=

2

·

4   -2   -2   4

-

(-1)

·

3   -2   3   4

+

(-1)

·

3   4   3   -2

=60

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А

M1,1 = (-1)1+1	4     -2     -2     4		=		12
M1,2 = (-1)1+2	3     -2     3     4	=		-18

M1,3 = (-1)1+3

3     4     3     -2

=

-18

M2,1 = (-1)2+1

-1     -1     -2     4

=

6

M2,2 = (-1)2+2

2     -1     3     4

=

11

M2,3 = (-1)2+3

2     -1     3     -2

=

1

M3,1 = (-1)3+1

-1     -1     4     -2

=

6

M3,2 = (-1)3+2

2     -1     3     -2

=

1

M3,3 = (-1)3+3

2     -1     3     4

=

11

M =	12     -18     -18     6     11     1     6     1     11

MT =	12     6     6     -18     11     1     -18     1     11

Найдем обратную матрицу

A-1 = MT/det(A) =

1/5     1/10     1/10     -3/10     11/60     1/60     -3/10     1/60     11/60

Найдем решение

X = A-1 · B =

1/5     1/10     1/10     -3/10     11/60     1/60     -3/10     1/60     11/60

·

4 11 11

=

3 1 1

Ответ:

x1 =

3

,

x2 =

1

,

x3 =

1

.

Задание 45. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1”, x2”, x3” через x1, x2, x3.

Решение.

Обозначим

X=	x1 x2 x3
X’=		x1’ x2’ x3’
X’’=		x1’’ x2’’ x3’’

A =	3     -1     5     1     2     4     3     2     -1

B =	4     3     1     3     1     2     1     -1     1

C =  B· A =	4     3     1     3     1     2     1     -1     1	·	3     -1     5     1     2     4     3     2     -1	=

=		18	4	31
		16	3	17
		5	-1	0

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом: C_1,1 = A_1,1 · B_1,1 + A_1,2 · B_2,1 + A_1,3 · B_3,1 = 4 · 3 + 3 · 1 + 1 · 3 = 12 + 3 + 3 = 18 C_1,2 = A_1,1 · B_1,2 + A_1,2 · B_2,2 + A_1,3 · B_3,2 = 4 · (-1) + 3 · 2 + 1 · 2 = (-4) + 6 + 2 = 4 C_1,3 = A_1,1 · B_1,3 + A_1,2 · B_2,3 + A_1,3 · B_3,3 = 4 · 5 + 3 · 4 + 1 · (-1) = 20 + 12 + (-1) = 31 C_2,1 = A_2,1 · B_1,1 + A_2,2 · B_2,1 + A_2,3 · B_3,1 = 3 · 3 + 1 · 1 + 2 · 3 = 9 + 1 + 6 = 16 C_2,2 = A_2,1 · B_1,2 + A_2,2 · B_2,2 + A_2,3 · B_3,2 = 3 · (-1) + 1 · 2 + 2 · 2 = (-3) + 2 + 4 = 3 C_2,3 = A_2,1 · B_1,3 + A_2,2 · B_2,3 + A_2,3 · B_3,3 = 3 · 5 + 1 · 4 + 2 · (-1) = 15 + 4 + (-2) = 17 C_3,1 = A_3,1 · B_1,1 + A_3,2 · B_2,1 + A_3,3 · B_3,1 = 1 · 3 + (-1) · 1 + 1 · 3 = 3 + (-1) + 3 = 5 C_3,2 = A_3,1 · B_1,2 + A_3,2 · B_2,2 + A_3,3 · B_3,2 = 1 · (-1) + (-1) · 2 + 1 · 2 = (-1) + (-2) + 2 = -1 C_3,3 = A_3,1 · B_1,3 + A_3,2 · B_2,3 + A_3,3 · B_3,3 = 1 · 5 + (-1) · 4 + 1 · (-1) = 5 + (-4) + (-1) = 0

Ответ

Задание 65. Используя теорию квадратичных форм привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка

5x²+8xy+5y²=9

Решение.

Приводим квадратичную форму

B = 5x² + 8xy + 5y²

к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(5 - λ)x₁ + 4y₁ = 0

8x₁ + (5 - λ)y₁ = 0

Характеристическое уравнение:

λ² -10 λ + 9 = 0

D = (-10)² - 4 • 1 • 9 = 64

Исходное уравнение определяет эллипс (λ₁ > 0; λ₂ > 0)

Вид квадратичной формы:

x₁² + 9y₁²

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

λ₁ = 1

4x₁ + 4y₁ = 0

4x₁ + 4y₁ = 0

или

4x₁ + 4y₁ = 0

Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = 1 при x₁ = 1:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

где

- длина вектора x₁.

или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ₂ = 9, находим из системы:

-4x₁ + 4y₁ = 0

4x₁-4y₁ = 0

или

-4x₁ + 4y₁ = 0

или

Итак, имеем новый ортонормированный базис (i₁, j₁).

Переходим к новому базису:

или

Вносим выражения x и y в исходное уравнение 5x² + 8xy + 5y² - 9 и, после преобразований, получаем:

x²₁ + 9y²₁ = 9

Разделим все выражение на 9

Канонический вид уравнения кривой второго порядка или x²₁ + 9y²₁ = 9 Это уравнение эллипса.

Задание 75. Найти собственные значения и собственные векторы

А=		4	-5	2
		5	-7	3
		6	-9	4

Решение.

Ответ: Собственное число λ1 = 0 Собственный вектор: Собственное число λ2 = 1 Собственный вектор:

Задание 75. Задано комплексное число . Найти алгебраическую, тригонометрическую и показательную формы записи. Решить уравнение

Решение.

1) найдём алгебраическую форму этого числа, для чего вначале домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число (1-i) и проведем алгебраические преобразования:

. - алгебраическая форма.

Модуль числа , аргумент находится во второй четверти;

Тригонометрическая форма числа:

показательная форма числа

2) для решения уравнения необходимо выписать три значения корня кубического из числа

Поскольку то

Полученный аргумент числа не является главным значением, поэтому, пользуясь периодичностью функций и можем перейти к другому аргументу, удовлетворяющему условию

;

Три решения исходного уравнения получаются при

Выписанный аргумент не является главным значением аргумента (больше ), поэтому форму числа необходимо преобразовать:

Теперь все три решения записаны с главными значениями аргументов, отличающихся друг от друга на величину

Задание 85. Даны векторы , , и в некотором базисе. Доказать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.