3.5. Скалярное произведение

Скалярным произведением вектораа на вектор b называется число (скаляр), равное произведению их модулей на косинус угла между ними и обозначается ab или (а, b):

Следствия.

1) Если векторы а и b ортогональны (перпендикулярны), то

Условие перпендикулярности двух векторов.

Два вектора ив том и только в том случае перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю.

2) Заметим, что значит

3)

Свойства скалярного произведения

1.

2.

3. называется скалярным квадратом вектораа и обозначается а². Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

Следовательно,

4.

3.6. Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов а и b (обозначается а  b или [а, b]) называется такой третий вектор с, который:

1) по абсолютной величине численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, т. е.

2) перпендикулярен плоскости этого параллелограмма, т. е. и;

3) направлен в ту сторону, чтобы три вектора а, b, с образовали правую тройку, т. е. чтобы кратчайший поворот от а к b с конца вектора с был виден против хода часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1. 2.

3. 4.

5. если векторыа и b коллинеарны. 6.

3.7. Смешанное произведение векторов

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов а, b, с называется скалярное произведение вектора и векторас и обозначается илиили. Абсолютная величина векторно-

скалярного (смешанного) произведения трех векторов численно равна объему параллелепипеда, построенного на вектораха, b, с (рис. 22).

Свойства смешанного произведения

1.

2.

3

Рис. 22

.

3.8. Операции над векторами, заданными в координатной форме

Название	Векторная форма	Координатная форма в прямоугольных декартовых координатах
Разложение вектора по ортам
Равенство векторов
Сумма (разность) векторов
Умножение вектора а на число λ ≠ 0
Условие коллинеарности векторов а и b		пропорциональность одноименных координат
Линейная комбинация векторов а, b, с со скалярными коэффициентами α и β, γ
Длина (модуль) вектора
Направляющие косинусы вектора а
Скалярное произведение векторов

Окончание таблицы

Название	Векторная форма	Координатная форма в прямоугольных декартовых координатах
Условие ортогональности
Проекция вектора b на а
Угол между векторами а и b
Векторное произведение а на b
Площадь параллелограмма, построенного на а и b
Смешанное произведение векторов а, b, с
Объем паралеллепипеда, построенного на а, b, с
Условие компланарности трех векторов а, b, с

50