5.3. Полином Жегалкина.

Определение 5. Полиномом Жегалкина называется полином вида

с,

(то есть сумма произведений вида ), где суммирование ведётся по некоторому множеству различных наборов (i₁, i₂, …, i_k), в которых все i_j также различны.

Любая булева функция единственным образом (с точностью до следования слагаемых) представима в виде полинома Жегалкина.

Для представления булевой функции в виде полинома Жегалкина достаточно:

1. Привести функцию к ДНФ (КНФ).

2. Выразить операции &, ,  через операции булева кольца по формулам из п.5.2.

Пример 5.3. Найдём полиномы Жегалкина для функций из примера 5.2. Для функции (х&у)( & ) имеем

(х&у)( & )=ху ху =ху =

=ху(1х)(1у)=ху1хуху=1ху,

то есть (х&у)( & )=1ху (в чём мы уже убеждались). Для функции х имеем х =х(1у)=хху, то есть х =хху.

Как видим, для функции х полином Жегалкина содержит произведения переменных. Такие полиномы называются нелинейными. Полиномы Жегалкина вида c₀c₁x₁c₂x₂…c_nx_n называются линейными. Таким образом, линейная функция представима в виде линейного полинома Жегалкина.

Заметим, что если А и В  различные конституенты единицы, то они содержат хотя бы одну пару противоположных литер, и тогда АВ=0, АВ=АВ. Поэтому полином Жегалкина удобно получать из СДНФ формулы.

Упражнение 5.4. Построить полиномы Жегалкина для функций упражнения 5.1.

Решение. а) Имеем СДНФf(x, y, z)= z y x z (см. решение упражнения 5.1, а)). Учитывая, что =1х, =1у, =1 z и раскрывая скобки, получаем

z y x z= z y x z=(1х)(1у)z(1х)y(1 z)x(1у)z=

=zхzуz хyzyхyyzхyzxzxуz=yzxyхyz.

То есть z y x z=yzxyхyz. В частности, функция не является линейной.

5.4. Функциональная полнота.

Определение 6. Система булевых функций F=f₁, f₂, …, f_n называется полной, если любая булева функция представима в виде суперпозиции функций из F.

Система булевых функций является полной тогда и только тогда, когда для каждого из классов Поста система содержит функцию, не лежащую в данном классе.

Определение 7. Система булевых функций называется базисом, если она полна, и удаление любой функции из этой системы делает её неполной.

Упражнение 5.5. Проверить полноту следующих систем булевых функций:

а) , ; б) , ; в) ; г)  &, .

Решение. а) Принадлежность данных функций к каждому из классов Поста сведём в таблицу:

	P0	P1	S	M	L
xy		+			
			+		+

В таблице знаком «+» на пересечении строки с указанием функции со столбцом с указанием класса обозначен тот факт, что функция принадлежит соответствующему классу, а знаком «»  тот факт, что функция не принадлежит данному классу. В каждом столбце имеется знак «», то есть для любого класса Поста система F=,  содержит функцию, не лежащую в данном классе. Следовательно, система функций F=,  является полной. Она образует базис, так как удаление любой функции из этой системы ведёт к тому, что оставшаяся система является неполной.