4.2. Конъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма.

Определение 5. Дизъюнкция

(4.2)

называется элементарной дизъюнкцией или дизъюнктом.

Как и в случае конъюнктов, существует 2ⁿ различных элементарных дизюъюнкций от n переменных. При этом значение элементарной дизюъюнкции вида (4.2) равно 0 тогда и только тогда, когда x_i=1_i для всех i=1, 2, …, n.

Конъюнкция вида (4.1) называется также конституентой нуля.

Определение 6. Конъюнктивной нормальной формой формулы А (КНФА) называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Пример 4.2. Для формулы А=(у) имеем, например, КНФА~ху.

Как и в случае ДНФ, КНФ формулы неединствен. Их можно составить сколько угодно. К КНФ формулы можно прийти по следующему алгоритму:

I шаг: Приведение операций |, , , ,  к операциям &,  или их отрицаниям:

1. Если в формуле участвуют операции |, , и , то от них с помощью операции отрицания переходим к отрицанию соответственно конъюнкций, дизъюнкций или эквиваленций.

2. Если в формуле участвует операция , то от неё с помощью закона т) упражнения 3.2 переходим к операции .

3. Если в формуле участвует операция , то от неё с помощью закона п) упражнения 3.2 преходим к операции .

II шаг. Отнесение отрицаний к пропозициональным переменным.

4. Если в формуле участвуют отрицания конъюнкций или дизъюнкций, то с помощью законов де Моргана отрицания приводим к пропозициональным переменным.

5. Если в формуле участвует двойное отрицание, то с помощью закона снятия двойного отрицания они убираются.

III шаг. Получение КНФ.

С помощью свойства дистрибутивности  относительно & все подформулы вида A(B₁&B₂&…&B_k) приводим к подформулам вида (AB₁)&(AB₂)&…&(AB_k) до тех пор, пока не получим конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Таким образом, мы доказали, что любая формула эквивалентна некоторой КНФ.

Очевидно, А&А&…&А~А, и поэтому в КНФ элементарная дизъюнкция может повторяться сколько угодно раз. В результате мы приходим к тому, КНФ формулы можно построить сколько угодно.

Потребуем, чтобы КНФ удовлетворяла следующим четырём свойствам совершенства:

1. Каждый дизъюнкт КНФ формулы содержит все переменные или их отрицания, входящие в формулу.

2. Все дизъюнкты, входящие в КНФ, различны.

3. Ни один дизъюнкт, из которых состоит КНФ, не содержит одновременно переменную и её отрицание.

4. Ни один дизъюнкт не содержит одну же литеру два и более раз.

Определение 7. КНФ формулы, удовлетворяющей всем условиям совершенства, называется совершенной конъюнктивной нормальной формой данной формулы (СКНФ).

Для того, чтобы получить СКНФ формулы А, достаточно сначала формулу привести к КНФА, а затем применить к полученной КНФ эквивалентные преобразования следующих видов, позволяющие последовательно получать эквивалентную КНФА, удовлетворяющие всем условиям совершенства:

1. Если в КНФА какой-либо дизъюнкт В не содержит переменную х_i или её отрицание, то используя равносильности B~В(х_i&)~ ~(Вх_i)&(B), дизъюнктВ заменяем на два дизъюнкта (Вх_i) и (B), каждая из которых содержитх_i или её отрицание .

2. Если в КНФА входят два или более одинаковых дизъюнкта B, то лишние отбрасываем, пользуясь равносильностью B&B&…&B~B.

3. Если некоторый дизъюнкт В, входящий в КНФА, содержит переменную х_i и её отрицание , тоВ~1, и в силу эквивалентности C&1~C, В исключаем из КНФА.

4. Если некоторый дизъюнкт, входящий в КНФА, содержит одну и ту же литеру дважды или более, то, пользуясь равносильностью…~, лишние отбрасываем.

Упражнение 4.3.С помощью эквивалентных преобразований привести формулы упражнения 3.4 к СКНФ.

Решение. з) Приведём формулу к КНФ:

(x|)(z)()(z)(x&)

(x&)(x&)

(x&)(x&)

(x&)((x&))

(x&()))(x&((у)&)))

(x&))(xz)&&&

(xz)&&

Получили КНФ формулы. Теперь преобразуем КНФ по алгоритму получения всех условий совершенства:

(xyz)&(xz)&(x)&&

(xyz)&(xz)&(xz)&(x)&&&

(xyz)&(xz)&(x)&&

(1) Одновременно заменили | на отрицание операции &,и на отрицание.

(2) Одновременно применили закон двойного отрицания и заменили наи его отрицание.

(3) Операцию заменили на.

(4) Применили закон де Моргана.

(5) Заменили на.

(6), (7) Одновременно применили законы де Моргана и снятия двойного отрицания.

(8) Воспользовались ассоциативностью и коммутативностью .

(9) 1-й и 2-й конъюнкты объединили в один с помощью дистрибутивности & относительно .

(10) К подформуле применили закон дистрибутивности.

(11) Воспользовались тем, что у~1.

(12) Применили сложную дизъюнкцию относительно .

(13) Применили законы исключённого третьего и идемпотентности.

(14) В 1-й и 2-й дизъюнкты добавили недостающие литеры и разбили их по два дизъюнкта каждую (1-я операция приведения к СКНФ).

(15) Операцию, аналогичную (14) проделали с 3-м и 4-м дизъюнктами.

(16) Опустили лишние дизъюнкты.

СДНФ формулы существует и единственна.

Существование СКНФ для любой формулы вытекает из алгоритма её построения.

Другой способ построения СКНФА основывается на следующей эквиваленции:

A(х₁, х₂, …, х_n)~.

Другими словами, формула A(х₁, х₂, …, х_n) в своей СДНФ содержит те и только те конъюнкты вида (4.2), значения которых равны 0 при x_i=1_i для всех i=1, 2, …, n. Например, для формулы А=(у), состоящей из двух переменных, можно составить всевозможные конъюнкты ху, х, у и . Из них значение 0 принимают только при наборе (х, у)=(0, 0), (что можно проверить, непосредственно составив таблицу истинности). Поэтому, СКНФА~ху.

Таким образом, СКНФA(х₁, х₂, …, х_n)=. Поэтому для нахождения СКНФ формулы достаточно: 1) построить её таблицу истинности; 2) выбрать те наборы значений переменных (которые входят в формулу), при которых формула принимает значение 0; 3) составить соответствующие им дизъюнкты и 4) составить из них КНФ.

Упражнение 4.4.С помощью таблиц истинности привести формулы упражнения 3.4 к СКНФ.

Решение. д). 1. Составим таблицу истинности формулы (она у нас уже составлена, см. решение задачи д) упражнения 4.2):

2. Выберем те наборы значений переменных, при которых формула принимает значение 0: (0, 0, 1), (0, 1, 1).

3. Составим соответствующие им дизъюнкты: xy,x.

4. Составим из них КНФ: (xy)&(x).

Ответ: д) СКНФA=(xy)&(x).

4.3. Принцип двойственности. Операция & называется двойственной к ,   двойственной к &. Пусть формула А содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Определение 8. Формула A* называется двойственной к А, если A* получается из A заменой в ней каждой операции на двойственную.

Очевидно, если A*  двойственна к A, то A  двойственна к A*. Поэтому говорят о взаимно двойственных формулах.

Очевидно также, что если формулы А и В равносильны, то равносильны и двойственные им А* и В*. Кроме того, если A*(х₁, х₂, …, х_п)  двойственна к A(х₁, х₂, …, х_п), то ~A*(х₁, х₂, …, х_п). Отсюда следует, что таблица истинности формулы A*, двойственной к А, получается из таблицы истинности А заменой всех 0 на 1 и всех 1 на 0.

Определение 9. Формула А называется самодвойственной, если A*~A.

Из определения следует, что формула A самодвойственна, если при замене 0 на 1, и 1 на 0 её таблица истинности не меняется (естественно, меняются между собой только строки). Очевидно, формула самодвойственна тогда и только тогда, когда на всех противоположных значениях переменных формула принимает противоположные значения.