§7. Применение к релейно-контактным схемам.

В этом параграфе мы рассмотрим одно техническое приложение булевых функций, которое оправдывает одно их название  переключательные функции.

Релейно-контактные (переключательные) схемы представляют собой схематическое изображение устройства, состоящее из следующих элементов:

1) переключателей, которыми могут быть механические устройства, электромагнитные реле и т.д.;

2) проводники, соединяющие переключатели;

3) входы в систему и выходы из неё, называемы полюсами.

На входы подаётся электрический сигнал. Переключатели могут быть замкнуты или разомкнуты, и в зависимости от общего состояния переключателей на выходе сигнал может сниматься либо нет.

Простейшая схема состоит из одного переключателя, одного входа и одного выхода. Поставим ему в соответствие высказывание р: «Переключатель замкнут». Если это высказывание истинно, то сигнал, поступающий на вход А, снимается на выходе В. В случае ложного высказывания сигнала на выходе нет. Это означает, что переключатель разомкнут. Такая простейшая схема приведена на рис. 3.

Б олее сложным высказываниям соответствуют более сложные схемы. Так, можно рассматривать отрицание вышеприведённого высказывания, соответствующее схеме, у которой на выходе сигнала не будет в случае, когда переключатель замкнут.

Конъюнкции p&q ставится в соответствие последовательное соединение двух простых схем (рис.4), дизъюнкции pq  параллельное соединение (рис. 5).

Так как любая формула может быть записана с помощью операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции, то любой формуле соответствует некоторая переключательная схема. Обратно, любой схеме соответствует некоторая схема. Это даёт возможность анализировать произвольную схему, записав её в виде некоторой формулы. Анализ может заключаться, например, в том, будет работать или нет данная схема. Или, нельзя ли упростить её без ущерба работоспособности.

Пример 7.1. Построим преключательную схему для формулы x(y xyx ). Очевидно, формулу можно упростить: x(y xyx )~x(y ). Поэтому схема имеет вид, изображённый на рис. 6.

Упражнение 7.1. Составить переключательную схему для формул упражнения 3.4.

Упражнение 7.2. Составить переключательные схемы для функций упражнения 5.1.

Упражнение 7.3. Упростить схемы:

a)

б)

в)

г)

Решение. а) Схема имеет следующую формулу ((х у)у(ху))х, упрощая которую, получаем ((х у)у(ху))х~xy. Поэтому в упрощённом виде схема выглядит так:

В заключение отметим, что с помощью булевых функций можно упрощать не только электрические схемы, но и всё, что может быть по аналогии интерпретировано с помощью булевых функций. Например, системы труб (для воды, нефти, газа) или схемы уличного движения.

Приложение 1

Варианты индивидуальных заданий Вариант 1

1. Составить таблицу истинности формул (xy)(y ), (x| )(z ). Для СДНФ второй формулы составить переключательную схему и её упрощённый вариант.

2. Проверить двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы x(yz) и (xy)(xz):

а) составлением таблиц истинности;

б) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных преобразований.

3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу (x )(  ) к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Построить полином Жегалкина.

4. Найти сокращённую, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции f(0, 1, 1)=f(1, 1, 0)=f(1, 0, 1)=0. К каким классам Поста принадлежит эта функция?

5. Найти сокращённую, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции f(х₁, х₂, х₃, х₄), заданной вектором своих значений (1101 1000 1001 0111).

6. Является ли полной система функций ={xy, y}? Образует ли она базис?

7. С помощью алгебры логики проверить истинность соотношения для любых множеств А, В, С: A(BC)=(AB)C.