
- •1.Сходимость числового ряда
- •4. Признаки сравнения положительных рядов
- •Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .
- •5. Знакочередующиеся ряды
- •6. Абсолютная и условная сходимость
- •7. Область сходимости функционального ряда
- •Теорема Абеля для степенных рядов
- •8. Радиус сходимости степенного ряда
- •Определение интервала сходимости
- •9. Почленное дифференцирование степенного ряда
- •Почленное интегрирование степенного ряда
- •10. Степенные ряды в окрестности произвольной точки.
- •11.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
- •15. Принцип умножения
- •16. Перестановки
- •Непосредственные следствия из аксиом
- •24. Схема равновозможных исходов
- •Алгоритм реализации схемы равновозможных исходов
- •Эмпирический закон больших чисел
- •25. Условная вероятность
- •26. Теорема умножения
- •27. Независимость событий
- •I. Независимость двух событий.
- •II. Независимость событий в совокупности.
- •30. Формула полной вероятности
1.Сходимость числового ряда
Определение. Числовым рядом называется выражение
(1)
Определение.
–й
частичной
суммой ряда
(1) называется
сумма
первых
членов ряда:
.
Так,
;
;
…
;
.
(2)
Определение.
Если существует конечный предел
последовательности частичных сумм:
,
то
говорят, что
ряд (1)
сходится,
а число
— его сумма.
Если предел бесконечен или не существует,
то говорят, что ряд
расходится.
Необходимый признак сходимости ряда
Теорема.
Если
числовой ряд
сходится, то предел его общего члена
равен нулю:
.
Доказательство.
Пусть ряд
сходится, и его сумма равна
:
.
Тогда из равенства (2) следует:
.
Отсюда по свойствам предела:
.
■
2. Ряд, образованный геометрической прогрессией
Ряд,
образованный геометрической прогрессией
со знаменателем
,
сходится, если
,
и расходится, если
.
3. Арифметические свойства сходящихся рядов
Теорема.
Пусть ряды
и
сходятся,
и их суммы равны, соответственно,
и
.
Тогда ряды
и
,
полученные почленным сложением и
вычитанием исходных рядов, также
сходятся, и их суммы равны, соответственно,
и
.
Доказательство.
Пусть
и
— частичные суммы исходных рядов. Тогда
числа
и
являются частичными суммами рядов,
полученных почленным сложением и
вычитанием. По свойствам предела:
.
■
Теорема.
Пусть ряд
сходится, и его сумма равна
.
Тогда ряд
,
полученный почленным умножением
исходного ряда на постоянное число
,
также сходится, и его сумма равна
.
Доказательство.
Пусть
— частичная сумма исходного ряда. Тогда
частичная сумма нового ряда:
.
Поэтому
.
■
Итак, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянное число.
4. Признаки сравнения положительных рядов
Будем рассматривать ряды с положительными членами
(8)
и
,
(9)
Теорема
(признак сравнения по неравенству).
Пусть
при всех
выполняется неравенство:
.
Тогда:
1) если ряд (9) с бóльшими членами сходится, то ряд (8) с меньшими членами также сходится;
2) если ряд (8) с меньшими членами расходится, то ряд (9) с бóльшими членами также расходится.
Теорема (предельный признак сравнения). Пусть существует конечный предел
,
и ряд (9) сходится. Тогда ряд (8) также сходится.
Радикальный признак сходимости Коши
Теорема.
Пусть для
ряда
с положительными членами
,
существует предел
.
Тогда при
ряд сходится, а при
ряд расходится.
Интегральный признак сходимости Коши
Теорема.
Пусть для
ряда с положительными членами
,
существует функция
,
удовлетворяющая трем условиям:
1)
при некотором натуральном
функция
непрерывна на
;
2)
монотонно убывает на
;
3) члены ряда являются значениями этой функции при це-
лых
значениях аргумента:
.
Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .
5. Знакочередующиеся ряды
Определение.
Пусть задана
последовательность
,
в которой все члены положительны. Ряды
(1)
и
(2)
называются знакочередующимися
Теорема (признак Лейбница). Пусть члены знакочереду- ющегося ряда (1) удовлетворяют двум условиям:
модули членов ряда монотонно убывают:
;
2)
.
Тогда
ряд (1)
сходится, и его сумма
удовлетворяет неравенству
(для
ряда (2),
соответственно,
).