Mat_Logika_Algebra_i_ischislenie_vyskazyvany

УДК 510.6

Рецензенты:

д–р техн. наук, проф., зав. каф. «Прикладная математика» СПГУВК Д.П.Голоскоков

д–р техн. наук, проф., гл. науч. сотр. НФ ФГУП «НИИ «ВЕКТОР» СЦПС СПЕКТР Н.А.Молдовян

Нырков А.П., Нырков А.А., Соколов С.С.

Алгебра и исчисление высказываний: учебное пособие. – СПб.: 2008. 112 с.

Изложены базовые понятия алгебры высказываний: основные методы (алгоритмы) приведения логических формул к нормальному виду, схемы правильных рассуждений. Для успешного выполнения приведенных контрольных заданий и оперативной проверки правильности их выполнения приведены программные коды в Maple.

Рассмотрены основы построения аксиоматических теорий на примере исчисления высказываний. Приведены решения некоторых вариантов контрольной работы по аксиоматическим теориям и переключательным схемам, а также все варианты этой контрольной работы. В приложениях дана таблица кратких сведения (Help − F1) для аксиоматических теорий.

Учебное пособие предназначено для студентов второго курса специальности: 090105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», а также может быть использовано как дополнительное пособие студентами специальностей 010501.65 «Прикладная математика и информатика» и 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)».

©Нырков Анатолий Павлович, 2008

©Нырков Андрей Анатольевич, 2008

©Соколов Сергей Сергеевич, 2008

3

ВВЕДЕНИЕ

Алгебра высказываний является одним из разделов математической логики, включает в себя:

•формализованное определение формул;

•построение таблиц истинности для логических формул;

•свойства основных логических операций;

•доказательство правильности рассуждений.

Для приложения алгебры высказываний в информатике важнейшее значение придается булевым функциям. Для исследования их свойств они представляются в виде логических формул. При этом сами логические формулы могут быть сведены к некоторому виду, для которого возможно алгоритмическое задание вычисления как формулы, так и порождаемой ею булевой функции. Такой вид логических формул называют совершенной нормальной формой.

Исчисление высказываний является наиболее простой формальной (аксиоматической) теорией. С помощью аксиоматических теорий можно отвечать на вопросы, которые не могут быть разрешены в рамках логики высказываний. Например, как должна строится теория, чтобы в ней не было противоречий, какими свойствами должны обладать методы доказательств, чтобы считаться достаточно строгими.

Предлагаемое учебное пособие охватывает лишь начальную часть математической логики. Его содержание соответствует курсу «Математической логики и теории алгоритмов», предусмотренному программой для специальности 090105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», а также курсу «Дискретной математики» для специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика» и курсу «Математической логики» для специальности 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)».

4

1.АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1.1.Пропозициональные связки и таблицы истинности

Высказывание – предложение, которому приписывается одно и только одно истинностное значение – Истина или Ложь, т.е. значение из множества

{И, Л}, или {1, 0}, или {true, false}.

Высказывания можно связывать логическими операциями – пропозициональными связками. Они определяются следующим образом.

1. Отрицание (операция НЕ). Отрицанием высказывания А называется выска-

зывание истинное тогда и только тогда, когда (т.т.т.к.) А– ложно.

Обозначается – ¬A или A .

2. Конъюнкция (операция И). Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание истинное т.т.т.к. Аи В– истинны одновременно.

Обозначается – A & B или A B .

3. Дизъюнкция (операция ИЛИ). Дизъюнкцией высказываний А и В называет-

ся высказывание ложное т.т.т.к. Аи В– ложны одновременно.

Обозначается – A B .

4. Импликация (операция ЕСЛИ–ТО). Импликацией высказываний А и В называется высказывание ложное т.т.т.к. А – истинно и В – ложно одновре-

менно. Обозначается – A B. Высказывание А называют посылкой, В –

заключением.

5. Эквиваленция (операция Т.Т.Т.К.). Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание истинное т.т.т.к. истинностные значения А и В сов-

падают.

Обозначается – А В.

В соответствии с определением пропозициональных связок можно со-

5

ставить для них истинностную таблицу. Так как все операции, кроме отрицания, являются бинарными операциями, т.е. зависят от двух операндов, то перебрав все возможные оценки списка переменных, получаем следующую таблицу:

Таблицы истинности

Логические формулы

Дадим формальное определение формулы в логике высказываний. Алфавитом называется любое непустое множество. Его элементы назы-

ваются символами алфавита. Словом называется произвольная конечная (возможно пустая) последовательность символов.

Слово а называется подсловом слова b, если существуют слова с и d, что b = cad.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих множеств:

1.{A, B, C,..., A1, A2,..., B1 ,... } – пропозициональные переменные (ПП).

2.{¬; &; ; ; } – пропозициональные связки (ПС).

6

3. {«,» ; «(»; «)» } – вспомогательные символы.

Замечание. Переменные называются пропозициональными потому, что их значениями могут быть высказывания (propositio на латыни означает предло-

жение, высказывание).

Формулой называется слово в алфавите алгебры высказываний, удовлетворяющее следующему индуктивному определению:

1.Любая пропозициональная переменная – формула.

2.Если A и B – формулы, то (¬A); ( A&B) ; ( A B) ; ( A B) ; ( A B) – формулы.

3.Только те слова являются формулами, которые могут быть получены применением правил 1 и 2.

Подформулой формулы A называется подслово слова A, являющееся формулой.

Примеры.

1.(((¬А) &В) В);

2.(А & (¬А));

3.(¬(А В) С) (А В);

4.((А В) & (B C)) (А C).

Замечание. Будем отбрасывать «несущественные» скобки, т.е. те, без которых можно однозначно определить порядок выполнения логических операций, исходя из их приоритета. Приоритет операций по убыванию –

{¬; &; ; ; }.

Упорядоченный набор пропозициональных переменных <X1, X2, ..., Xk>

называется списком переменных формулы A, если все пропозициональные переменные формулы A находятся в этом наборе.

Оценкой списка переменных называется сопоставление каждой пропозициональной переменной списка переменных некоторого истинностного значения.

7

Теорема.

Пусть список переменных некоторой формулы состоит из k пропозициональных переменных. Количество различных оценок такого списка переменных равно 2k.

Основные равносильности

Формулы A и B называются равносильными, если на каждой оценке списка переменных они принимают одинаковые значения.

Обозначается – В таблице приведены основные равносильности логики высказываний.

8

1.2. Тавтологии

Тавтологией (тождественно истинной формулой) называется формула, которая на каждой оценке списка переменных принимает значение Истина.

Противоречием (тождественно ложной формулой) называется формула, которая на каждой оценке списка переменных принимает значение Ложь.

Выполнимой формулой называется формула, которая хотя бы на одной оценке списка переменных принимает значение Истина.

Опровержимой формулой называется формула, которая хотя бы на одной оценке списка переменных принимает значение Ложь.

Основные тавтологии

1.А ¬А – закон исключенного третьего, tertium nondatur

2.А A

3.А (В А )

10. (((A B) A) A) – закон Пирса

Правильные рассуждения

Правильным называется рассуждение, в котором из конъюнкции посылок следует заключение, и оно является тавтологией. В этом случае, если посылки

– истинны, заключение – истинно.

9

Здесь P1 , P2 ,..., Pn – некоторые высказывания – посылки, D – заключение.

При доказательстве утверждений используют рассуждения, которые можно выразить логическими формулами. Для правильности рассуждения формула

P1 , P2 ,..., Pn должна быть тавтологией.

D

Примеры.

1)Если число 7 – простое (А), то оно нечетное (В). Число 7 – нечетное, следовательно число 7 – простое.

Формула, описывающая приведенное высказывание, ((A B)& B) A – не является тавтологией, т.е. рассуждение не является правильным.

2)Если Иван обливается холодной водой (А), то Иван никогда не болеет (В). Иван обливается холодной водой. Следовательно, Иван никогда не болеет.

Формула, описывающая приведенное высказывание, ((A B)& А) В – тавтология. Значит, это правильное рассуждение.

Замечание. Эта формула в аксиоматических теориях является основанием «modus ponens» – правила отделения.

Схемы правильных рассуждений.

Распространенные схемы правильных рассуждений:

A B, A ; A B,¬B .

B ¬A

Схемы правильных рассуждений используются, в частности, при доказа-

тельстве теорем. В ряде схем доказательств теорем вместо рассуждения А В

используют рассуждение по равносильной формуле. Таковы, например, мето-

ды «от противного»:

А В ≡ (А В) Л ≡ ¬(А В) (С & ¬С) ≡ (А & ¬В) (С & ¬С).

10

А В ≡¬А В ≡ (¬А В) (С & ¬С) ≡¬ (¬А В) (С & ¬С) А В ≡¬А В ≡ (¬А В) ¬А ≡¬ (¬А В) ¬А ≡ (А & ¬В) ¬А А В ≡¬А В ≡ (¬А В) В ≡¬ (¬А В) В ≡ (А & ¬В) В

А В ≡ ¬А В ≡ В ¬А ≡ ¬В ¬А– закон контрапозиции.

Примеры.

Приведенные ниже задачи с некоторыми изменениями взяты из [5] .

1. Если капиталовложения останутся постоянными (А), то возрастут пра-

вительственные расходы (В) или возникнет безработица (C). Если правитель-

ственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены (D). Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возникнет. Следовательно, правительственные расходы возрастут.

Выразим рассуждение в виде логических формул. Обозначим через

P1=А (В C); P2= ¬В D; P3= (D &A) ¬С.

Тогда рассуждение имет вид:

(P1 & P2 & P3 ) В.

Проверим, существует ли оценка списка переменных, при которой эта формула примет Ложное значение. Для этого одновременно должны выполняться равенства:

В = Л; (P1 & P2 & P3 ) = И.

Последнее возможно при одновременном выполнении равенств:

P1 = И; P2 = И; P3 = И.

Тогда для P2 = И, необходимо D = И; для P1 = И, требуется А C = И; а для P3 = И, должно быть А ¬C = И.

Эти равенства выполняются, например, на оценке < Л, Л, И, И>.

Значит, рассуждение не является правильным.

2. Если строить противоатомные убежища (А), то другие государства