4.2. Численные методы

Гидродинамический метод прогноза погоды направлен на расчет будущего барического поля, вертикальных токов и ветра, осадков, максимальной и минимальной температуры и других метеорологических величин с помощью численного решения уравнений гидродинамики и термодинамики.

Исходные основные уравнения гидродинамики, используемые для построения численного прогноза в системе координат х,у,р (р – атмосферное давление), выражают фундаментальные физические законы, сформулированные для сплошной среды: закон сохранения количества движения, закон сохранения массы и закон сохранения энергии.

Закон сохранения количества движения представлен уравнением движения в изобарической системе координат:

–g–lu, (4.1)

–glu, (4.2)

где u,v,w – составляющие полного вектора скорости движения частицы;

–эквивалент вертикальной составляющей скорости w, взятой с обратным знаком;

g – ускорение свободного падения;

H – геопотенциальная высота изобарической поверхности;

l = 2 – параметр Кариолиса;

–угловая скорость вращения Земли;

–географическая широта.

В левых частях выражений (4.1) и (4.2) записаны ускорения, приобре­таемые частицей единичной массы, а в правых - силы, действующие на эту частицу. В свободной атмосфере силой турбулентного трения в силу ее малости можно пренебречь. Кроме того, можно пренебречь, как малыми, и вертикальными составляющими и.

С учетом сделанных допущений уравнения (4.1) и (4.2) записываются в виде:

–– lu (4.3)

–+ lu (4.4)

Поскольку в крупномасштабных атмосферных процессах (с размерами около тысячи километров) ускорения по вертикали пренебрежимо малы, уравнение, выражающее закон сохранения количества движения по оси р, упрощается, принимая вид уравнения статики. Однако из этого не следует, что исключаются вертикальные движения воздуха. Они учитываются другими уравнениями. Запись уравнения температуры воздуха в виде:

–(4.5)

говорит лишь о том, что в данном случае пренебрегается ускорениями, обусловленными нарушением равновесия между силой тяжести и вертикальной составляющей силы барического градиента.

Прогностическая модель атмосферы, использующая уравнение статики, получается, таким образом, в квазистатическом приближении. Все применяемые схемы прогноза крупномасштабных процессов основываются на квазистатическом приближении. Система уравнений (4.3) – (4.5) называется квазистатической системой уравнений.

Закон сохранения массы для сплошной среды записывается в виде уравнения неразрывности. В системе координат х,у.р в уравнении неразрывности пропадает слагаемое, характеризующее изменение плотности, и оно приобретает вид:

(4.6)

Из этого уравнения следует, что в системе координат х,у,р атмосферный воздух описывается как несжимаемая жидкость. Это допущение значительно упрощает расчеты.

Закон сохранения энергии выражается первым началом термодинамики: притекающая к воздушной частице тепловая энергия расходуется на на­грев воздуха и работу расширения.

Для не слишком больших промежутков времени (порядка одних суток) притоком тепла можно пренебречь. В этом случае уравнение притока тепла принимает вид:

– (4.7)

Модель атмосферного процесса, в которой используется уравнение (4.7), называется адиабатической моделью.

Принятие условия адиабатичности процессов значительно упрощает решение прогностической задачи и в то же время не вносит существенных ошибок.

Система уравнений (4.3 – 4.7) состоит из пяти уравнений и содержит пять неизвестных функций. Среди них три производные по времени:

(),

кроме того, неизвестны изменяющиеся во времени высоты изобарических поверхностей Н и вертикальная скорость в изобарической системе . Таким образом, имеется замкнутая система уравнений относительно функций и,v,T,H,.В общем виде аналитически эта система не решается, поэтому решение ее производится численными методами.