Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 29. Простейшие задачи на построение

2.Проводим радиус ÑÀ и диаметр BD.

3.Разделим угол DAC пополам (см. задачу VI): его биссектриса и есть искомая прямая.

Действительно, пусть AF^ BC; тогда AF — áèñ-

сектриса угла ÂÀÑ, а биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, откуда и следует требуемая параллельность. n

266. Построение пропорциональных отрезков.

Задача VIII. Разделить отрезок на пропорциональные части.

Для определенности разделим отрезок ÀÂ в отношении 1 : 2 : 3.

q 1. Через один из концов заданного отрезка (например, À) проводим произвольный луч (рис. 153).

2. На этом луче от точки À откладываем в произвольном масштабе отрезки заданной пропорцио-

нальности, т. е. AK : KL : LM = 1 : 2 : 3.

3.Соединяем точки Â è Ì.

4.Через концы отрезков, лежащие на луче ÀÌ, проводим прямые, параллельные ÂÌ. Отрезок ÀÂ

разделен на требуемые части: AC : CD : DB = 1 : 2 : 3. В частности, если на луче отложить равные отрез-

ки, то и отрезок ÀÂ разделится на равные части.n Задача IX. Построить четвертый пропорциональ-

ный отрезок.

Даны три отрезка длиной a, b è ñ. Требуется по-

строить такой отрезок длины õ, чтобы a = c , b x

èëè x = bc . a

q Это частный случай задачи VIII.

387

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ðèñ. 153

a)

á)

1.Строим произвольный угол (рис. 154, à).

2.На одной стороне угла откладываем отрезки

ÀÂ = à è BD = b.

3.На другой стороне угла откладываем отрезок

ÀÑ = ñ.

4.Соединяем точки Â è Ñ и проводим DE÷÷ BC.

Отрезок ÑÅ — искомый, т. е. CE = BD × AC .

AB

Заметим, что длина ÑÅ не изменится, если отложить ÀÂ = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n

267. Построение касательной к окружности.

Задача Х. Из данной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную (если точка лежит на окружности, то задача сводится к построению перпендикуляра в конце отрезка).

388

ГЕОМЕТРИЯ

§ 29. Простейшие задачи на построение

q 1. Соединим данную точку À с центром Î окружности (рис. 155).

2.Íà ÎÀ как на диаметре строим окружность, пересекающую заданную в точках Â è Ñ.

3.Проводим прямые ÀÂ è ÀÑ, которые и являются искомыми касательными (углы ÀÂÎ è ÀÑÎ — прямые, так как они опираются на диаметр). n

268. Построение вписанной и описанной окружностей для треугольника.

Задача XI. Вписать окружность в данный треугольник.

q 1. Проводим биссектрисы двух любых углов треугольника (рис. 156).

2.Из точки Î пересечения биссектрис опускаем перпендикуляр на какую-либо сторону треугольника.

3.Проводим окружность с центром Î и радиусом, равным длине перпендикуляра. n

Задача XII. Описать окружность около данного треугольника.

q 1. Проводим перпендикуляры через середины каких-либо сторон треугольника (рис. 157). Пусть они пересекаются в точке Î.

2. Проводим окружность с центром Î и радиусом, равным ÎÀ. n

389

Раздел IX

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

§30. Треугольник

269.Стороны и углы треугольника. Длины сторон треугольника не могут быть заданы произволь-

íî: во всяком треугольнике длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон, но больше их разности.

Например, существует треугольник с длинами сторон 3, 4 и 5, но не существует треугольника со сторонами 3, 4 и 8 (поскольку 8 > 3 + 4 ).

Таким образом, если ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ — длины сторон треугольника ÀÂÑ, то выполняется неравенство AC < AB + BC, которое называется неравенством треугольника.

Отметим, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Если длины всех сторон треугольника равны между собой, то такой треугольник называется равносторонним (èëè правильным); если же равны две стороны, то треугольник называется равнобедренным. Обычно у равнобедренного треугольника его равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Например, в равнобедренном треугольнике ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ — основание, а ÀÂ è ÂÑ — боковые стороны.

Âравностороннем треугольнике все углы равны;

âравнобедренном треугольнике равны углы при основании.

390

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

Ò.9.1. Сумма углов любого треугольника равна 180° (двум прямым углам).

Отсюда следует, что может существовать треугольник с тремя острыми углами, но прямой или тупой угол в треугольнике может быть только один.

Треугольник, у которого все три угла острые, называется остроугольным; треугольник, имеющий тупой угол, — тупоугольным. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным. Его сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а стороны, образующие прямой угол, — катетами. Так, в прямоугольном треугольнике ÀÂÑ (ðèñ. 159) ÀÂ — гипотенуза, а ÀÑ è ÂÑ — катеты.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине (например, на рис. 160 ACD — внешний угол при вершине Ñ, смежный с внутренним углом ÀÑÂ).

Ò.9.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.

391

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

270. Биссектриса треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Биссектрисой треугольника называется любая из биссектрис внутренних углов треугольника.

Ò.9.3. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Ò.9.4. В любой треугольник можно вписать окружность; ее центром является точка пересечения биссектрис.

Так, на рис. 161 изображены треугольник и вписанная в него окружность; ее центром Î является точка пересечения биссектрис AK, BL è ÑÌ.

Вписанная в треугольник окружность единственна, но существуют еще окружности, касающиеся всех трех прямых, на которых лежат стороны треугольника (рис. 162). Такие окружности называются внешне вписанными.

392

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

Пусть à, b, c — длины сторон треугольника, а lc — длина биссектрисы, проведенной к стороне ñ. Тогда справедлива формула

П р и м е р 1. В равнобедренном треугольнике ÀÂÑ основание ÂÑ = 5 см, а боковая сторона ÀÂ = = 20 см. Найти длину биссектрисы угла при основании (рис. 163).

q Здесь à = 5 ñì, b = c = 20 см. Используя формулу (1), находим

Отметим следующее свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Ò.9.5. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е.

где а и b — длины сторон треугольника, à1 è b1 — длины прилежащих к ним отрезков стороны с (ðèñ. 164).

П р и м е р 2. В треугольнике из примера 1 найти отрезки, на которые биссектриса угла при основании делит боковую сторону.

q Имеем (см. рис. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à1 = = BD, b1 = AD. Согласно формуле (2), получим à1 : b1 =5: 20 = 1 : 4, откуда находим BD = 4 ñì, AD = 16 ñì. n

393

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Аналогичным свойством обладает и биссектриса внешнего угла треугольника, если AB ¹ BC (рис. 165), а именно: отрезки AN è CN от вершин À è Ñ до точки N ее пересечения со стороной ÀÑ пропорциональны сторонам треугольника, т. е.

AN : CN = AB : BC.

Для длины биссектрисы внутреннего угла треугольника справедлива также формула

ãäå à1 è b1 — длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ñ (ñì. ðèñ. 164).

Òàê, â D ABC из примера 1 (см. рис. 163) имеем a = BC = 5 ñì, b = AC = 20 ñì, a1 = BD = 4 ñì, b1 =

=AD = 16 см, откуда по формуле (3) находим CD =

= 5 × 20 - 4 × 16 = 36 = 6 (ñì).

394

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

271. Медиана треугольника. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Ò.9.6. Три медианы треугольника пересекаются

âодной точке, которая делит каждую медиану

âотношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Точка пересечения медиан является центром масс треугольника (если считать треугольник тонкой однородной пластинкой).

Пусть à, b, ñ — длины сторон треугольника, а mñ — длина медианы, проведенной к стороне ñ. Тогда справедлива формула

П р и м е р 1. В прямоугольном треугольнике ÀÂÑ с катетами ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 см найти длины медиан ÀÅ è CD (ðèñ. 166).

395

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

q Здесь AB = 32 + 42 = 5 (см). Используя формулу (1), находим

AE = 0,5 2 (42 + 52) - 32 = 0,5 73; (ñì);

CD = 0,5 2 (32 + 42) - 52 = 2,5 (ñì)

(как и должно быть, поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, т. е. радиусу описанной окружности; см. п. 273). n

Определим еще одно понятие. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Справедлива следующая теорема:

Ò.9.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

П р и м е р 2. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная его боковой стороне, равна 3 см. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 17 см.

q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 см, а значит, и ÀÂ = 6 см. Остается найти ÀÑ = 17 –

–12 = 5 (ñì). n

272.Высота треугольника. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону. Пусть a, b, ñ —

длины сторон треугольника, hc — высота, проведенная к стороне ñ. Тогда справедлива формула

ãäå p = 0,5(a + b + c) — полупериметр. Отсюда сле-

396