Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

Если фигура состоит из точек, симметричных относительно прямой l, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l.

Такая симметрия называется осевой, а прямая l — осью симметрии.

Например, биссектриса угла является его осью симметрии. Прямоугольник имеет две оси симметрии — это прямые, проходящие через точку пересе- чения его диагоналей и параллельные сторонам прямоугольника (рис. 137). Осью симметрии окружнос-

377

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ì4

ти является любой ее диаметр, т. е. окружность имеет бесконечно много осей симметрии (рис. 138).

§28. Перпендикулярные

èпараллельные прямые

258.Перпендикуляр и наклонная. Через произвольную точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если при этом точка не лежит на прямой, то говорят «опустить перпендикуляр», если же лежит — «восставить перпендикуляр». Точка, в которой перпендикуляр пересекает данную прямую, называется основанием перпендикуляра.

Пусть из точки Ì опущен перпендикуляр на данную прямую. Длина этого перпендикуляра называется расстоянием от точки до прямой. Любая другая прямая, проходящая через точку Ì è ïåðå-

378

ГЕОМЕТРИЯ

§ 28. Перпендикуляр. и параллельные прямые

секающая данную, называется наклонной (наклонной также называется отрезок от точки Ì до пересечения с данной прямой). Точка, в которой наклонная пересекает данную прямую, называется основанием наклонной, а отрезок между основаниями перпендикуляра и наклонной — проекцией наклонной. Так, на рис. 139 изображены: ÌÀ — перпендикуляр, ÌÂ — наклонная, ÀÂ — проекция наклонной. При этом пишут

MA^AB.

Отметим некоторые свойства наклонных:

10. Если из данной точки к одной и той же прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная длиннее перпендикуляра.

20. Если из данной точки к одной и той же прямой проведены две наклонные, то из них длиннее та, у которой проекция больше.

30. Если две различные наклонные, проведенные из данной точки к одной и той же прямой, равны, то их основания одинаково удалены от основания перпендикуляра (и лежат по разные стороны от него).

40. Если через точку, из которой к данной прямой проведены две равные наклонные, и середину отрезка между их основаниями провести прямую, то она является перпендикуляром к данной прямой.

Отметим, что все точки серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалены от концов этого

379

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

отрезка. Обратно, если известно, что некоторая точка одинаково удалена от концов отрезка, то такая точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку. Значит, верно следующее утверждение:

Ò.8.7. Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, одинаково удаленных от концов отрезка.

259.Параллельные прямые. Прямые, лежащие

âодной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются. При этом пишут ÀÂ÷÷ CD (ðèñ. 140).

Через произвольную точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Отсюда следует, что если две прямые в плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Отметим, что прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и

остальным. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è MN^ AB, òî

MN^ CD (ðèñ. 141).

380

ГЕОМЕТРИЯ

§ 28. Перпендикуляр. и параллельные прямые

Два перпендикуляра, проведенные к одной и той же прямой, параллельны между собой. Например, если

CD^ AB è EF^ AB, òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142).

260. Признаки параллельности прямых. Рассмотрим углы, образованные при пересечении двух прямых третьей (рис. 143). Они имеют специальные названия:

óãëû a è a1, b è b1, g è g1, d è d1 называются соответственными:

óãëû d1 è b , g1 è a — внутренними накрест

лежащими;

óãëû a1 è g , b1 è d — внешними накрест ле-

жащими;

óãëû a è d1, b è g1 — внутренними односто-

ронними;

óãëû a1 è d , b1 è g — внешними односторон-

íèìè.

Справедливы следующие утверждения:

Ò.8.8. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Ò.8.9. Если внутренние (или внешние) накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Ò.8.10. Если сумма внутренних (или внешних) односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Справедливо также утверждение, обратное теоремам 8.8—8.10:

Ò.8.11. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны; внутренние (и внешние) накрест лежащие углы рав-

381

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ны; сумма внутренних (и внешних) односторонних углов равна 180°.

Отметим следующее свойство параллельных прямых:

Ò.8.12. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла (ðèñ. 144), отсекают от этих сторон пропорциональные отрезки, ò. å.

AB1 = B1B2 = B2B3 .

AC1 C1C2 C2C3

В частности, справедливо такое утверждение:

Ò.8.13. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фалеса).

261. Углы с параллельными и перпендикулярными сторонами. Рассмотрим углы, стороны которых параллельны или перпендикулярны. Справедливы следующие утверждения:

Ò.8.14. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы

382

ГЕОМЕТРИЯ

§ 28. Перпендикуляр. и параллельные прямые

либо равны, либо дополняют друг друга до 180° (ðèñ. 145, à è á).

Ò.8.15. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо дополняют друг друга до 180° (ðèñ. 146, à è á).

Очевидно, что равенство углов получается в том случае, когда они либо оба острые, либо оба тупые. Если же один из углов острый, а другой тупой, то они дополняют друг друга до 180° (прямые углы, конеч- но, и равны, и дополняют друг друга до 180°).

Ðèñ. 145

Ðèñ. 146

383

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 29. Простейшие задачи на построение

Во всех задачах, рассматриваемых в данном параграфе, используются только два чертежных инструмента — линейка и циркуль.

262. Деление отрезка пополам.

Задача I. Разделить данный отрезок пополам. q 1. Проводим дуги окружностей одного и того

же радиуса (большего половины ÀÂ) с центрами в заданных точках À è Â (ðèñ. 147).

2. Через точки C è D (точки пересечения этих дуг) проводим прямую. Она пересекает отрезок ÀÂ в его середине F. n

Это же построение используется для решения следующей задачи.

Задача II. Восставить перпендикуляр в середине данного отрезка.

Прямая CD и есть искомый перпендикуляр.

263. Построение перпендикуляров.

Задача III. Опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

384

ГЕОМЕТРИЯ

§ 29. Простейшие задачи на построение

q 1. Проводим окружность с центром в заданной точке Ñ, пересекающую данную прямую в точ- ках À è Â (ðèñ. 148).

2.Проводим дуги окружностей одного и того же радиуса (большего половины ÀÂ) с центрами À

èÂ. Пусть они пересекаются в точке D.

3.Прямая CD и есть искомый перпендикуляр.n Задача IV. Восставить перпендикуляр к данному

отрезку в его конце.

q 1. Проводим окружность, которая проходит че- рез заданный конец À, а ее центром является произвольная точка Ñ, лежащая вне данной прямой. Пусть эта окружность пересекает данный отрезок (или его продолжение) в точке F (ðèñ. 149).

2.Проводим диаметр, проходящий через точки F

èÑ. Пусть D — второй конец этого диаметра. Тогда

DA — искомый перпендикуляр ( ÐDAB — прямой, так как он опирается на диаметр). n

264. Построение углов.

Задача V. Построить угол, равный данному.

q 1. Проводим дугу произвольного радиуса с центром в вершине À данного угла, пересекающую его стороны в точках Â è Ñ (ðèñ. 150).

385

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.Проводим произвольную прямую, фиксируем на ней точку K и проводим дугу того же радиуса, что и в п. 1, с центром K. Пусть эта дуга пересекает прямую в точке L.

3.Проводим дугу радиуса ÂÑ с центром L. Пусть эта дуга пересекает первую дугу в точке Ì. Тогда угол MKL и есть искомый. n

Задача VI. Разделить данный угол пополам.

q 1. Проводим дугу произвольного радиуса с центром в вершине À данного угла, пересекающую его стороны в точках Â è Ñ (ðèñ. 151).

2.Проводим дуги одного и того же радиуса (большего половины ÂÑ) с центрами Â è Ñ. Пусть они пересекаются в точке D.

3. Проводим AD. Тогда РBAD = ÐDAC. n

265.Построение прямой, параллельной данной

èпроходящей через данную точку.

Задача VII. Через данную точку, не принадлежащую данной прямой, провести прямую, ей параллельную.

q 1. Проводим окружность с центром в заданной точке À и радиусом, большим,X чем расстояние от точки À до данной прямой. Пусть эта окружность пересекает прямую в точках Â è Ñ (ðèñ. 152).

386