Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

полуплоскость разбивается лучом ÎÑ, называются смежными. Сторона ÎÑ для этих углов общая, стороны ÎÀ è ÎÂ продолжают друг друга. Можно сказать, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого. Такие углы называются дополнительными.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые ÀÂ è CD. Пусть Î — точка их пересечения (рис. 121). При этом стороны углов AOC è BOD, а также стороны углов ÑÎÂ è DOA продолжают друг друга. Такие углы называются вертикальными. Таким образом, углы ÀÎÑ è BOD — одна пара вертикальных углов,а углы ÑÎÂ è DOA — вторая пара вертикальных углов (рис. 121).

Ðèñ. 121

Можно сказать, что вертикальные углы — это углы, смежные с одним и тем же углом (на рис. 121 углы ÀÎÑ è BOD смежные, например, с углом

ÑÎÂ).

Ò.8.1. Вертикальные углы равны.

254. Градусная и радианная меры углов. Углы принято измерять в градусах и радианах. За едини-

367

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

öó градусного измерения, ò. å. çà óãîë â îäèí градус

угла. Таким образом, развернутый угол равен 180°. Угол, равный 90°, называется прямым. Иногда прямой угол обозначают d. Отсюда следует, что развернутый угол равен 2d, а полный угол равен 4d. Две прямые, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Угол, меньший 90°, называется острым; угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым. Градус делится делится на минуты (одна минута обозначается

1¢ ) è секунды (одна секунда обозначается 1¢¢ ), а именно: 1° = 60¢ , 1¢ = 60¢¢.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины и делит угол пополам.

П р и м е р 1. Найти угол, образованный биссектрисами смежных углов.

q Рассмотрим смежные углы ÀÎÂ è ÂÎÑ и их биссектрисы ÎÌ è ON (рис. 122). Имеем

ÐMON = ÐMOB + ÐBON = 0,5ÐAOB + 0,5ÐBOC =

= 0,5 (ÐAOB + ÐBOC) = 90°,

поскольку РAOB + ÐBOC = 180°.

Таким образом, биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. n

Рассмотрим окружность с центром Î. Угол, вершина которого находится в точке Î, называется центральным (рис. 123). Дуги окружности можно измерять в градусах. При этом градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла.

Например, градусная мера дуги ÀÂ равна 90° ( È AB = 90° ), так как соответствующий ей централь-

368

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

ный угол — прямой (рис. 123). Тогда градусная мера полуокружности равна 180° (соответствующий центральный угол — развернутый), а градусная мера всей окружности равна 360° (соответствующий центральный угол — полный).

Перейдем теперь к радианной мере углов и дуг. Рассмотрим центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу. Такой угол называется углом в один радиан (обозначение: 1). Так

как длина окружности равна 2pR (см. п. 290), то полный угол равен 2p = 6,283... радиана, разверну-

один радиан равен примерно 57°17¢45¢¢.

Между градусной и радианной мерами существует зависимость, которая позволяет переходить

от одной меры к другой. Пусть a° и a — соответ-

369

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ственно градусная и радианная мера одного и того же угла. Тогда a° : a = 180° : p. Отсюда следует, что

П р и м е р 2. Найти величины смежных углов,

åñëè 1 одного из них равна 0,2 другого. 3

q Пусть õ — выраженная в градусах величина одного из смежных углов; тогда 180 – õ — величина

другого угла. По условию, x = 180 - x , откуда 8õ =

3 5

= 540, ò. å. õ = 67,5, 180 – õ = 112,5. Итак, искомые углы составляют 67°30¢ è 112°30¢. n

П р и м е р 3. Выразить в радианах углы a1 = 30°

255. Ломаная. Многоугольник. Фигура, образованная отрезками, расположенными так, что конец предыдущего отрезка является началом следующего, называется ломаной (при этом считается, что два соседних отрезка не лежат на одной прямой; рис. 124). Эти отрезки называются звеньями ломаной

370

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

(èëè åå сторонами). Если на- чало первого отрезка совпадает с концом последнего, то ломаная называется замкнутой.

Замкнутая ломаная, состоящая из n звеньев, называется n-угольником (èëè многоугольником). Многоугольник называется выпуклым, åñëè

он целиком расположен по одну сторону от прямых, на которых лежат его стороны. На рис. 125, à изображен выпуклый четырехугольник, а на рис. 125, á — невыпуклый. Звенья ломаной, образующие многоугольник, называются его сторонами, концы этих звеньев — вершинами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются его диагоналями. Óãëû,

Ðèñ. 125

образованные парами сторон, исходящими из одной вершины, называются внутренними углами многоугольника, а смежные с ними — внешними угла-

ìè многоугольника. Так, на рис. 126 РBAD, ÐADC,

ÐDCB, ÐCBA — внутренние углы, а смежные с ними

(они обозначены дугами) — внешние углы четырехугольника ABCD.

371

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ò.8.2. Сумма внутренних углов выпуклого n-уголь- ника равна 180°(n–2).

Так, сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°, а сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна 720°.

П р и м е р 1. Найти внутренние углы выпуклого пятиугольника, если

a1 : a2 : a3 : a4 : a5 = 2 : 2 : 2 : 3 : 6.

q Пусть a1 = 2x. Учитывая, что сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°, имеем 2x + 2x + 2x + 3x + 6x = 540, 15x = 540, x = 36.

Èòàê, a1 = a2 = a3 = 72°, a4 = 108°, a5 = 216°. n

Ò.8.3. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 360° (т. е. не зависит от числа сторон).

Сформулируем признаки равенства и подобия многоугольников (см. также пп. 274 и 278):

Ðèñ. 126

372

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

Ò.8.4. Если у двух многоугольников равны соответственные стороны и углы, заключенные между этими сторонами, то такие многоугольники равны.

Ò.8.5. Если у двух многоугольников соответственные стороны пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие многоугольники подобны.

Незамкнутая ломаная называется выпуклой, если ее можно дополнить замыкающим звеном до выпуклого многоугольника. Например, на рис. 127, à изображена выпуклая ломаная, а на рис. 127, á — невыпуклая.

Ðèñ. 127

Рассмотрим две ломаные, соединяющие какие-либо две точки À è Â (рис. 128). Если при этом одна из ломаных целиком лежит внутри другой, то внутренняя ломаная называется объемлемой, а внешняя — объемлющей. Справедлива следующая теорема:

Ò.8.6. Объемлющая ломаная длинее всякой выпуклой объемлемой ломаной.

П р и м е р 2. Длины отрезков ÀÑ, CD è DB равны соответственно 2, 4 и 3 (см. рис. 128). Можно

373

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ли построить такую выпуклую ломаную AF1F2F3B, чтобы ее длина была равна 10?

q Длина объемлющей линии L = 2 + 4 + 3 = 9, следовательно, нельзя построить объемлемую выпуклую ломаную, длина которой равна 10. n

256. Геометрическое место точек. Геометрическим местом точек называется множество всех то- чек, обладающих каким-либо свойством.

Ïр и м е р 1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек À è Â, — это перпендикуляр, проходящий через середину отрезка ÀÂ (рис. 129); его называют серединным перпендикуляром к отрезку ÀÂ.

Ïр и м е р 2. Геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние l, — это две прямые, параллельные данной и отстоящие от нее на расстояние l (ðèñ. 130).

Ïр и м е р 3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух биссектрис углов, образованных этими прямыми (рис. 131).

374

ГЕОМЕТРИЯ

§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела

Ðèñ. 130 Ðèñ. 131

П р и м е р 4. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. q Углом a, под которым виден данный отрезок ÀÂ, называется угол при вершине треугольника ÀÂÑ, ãäå ÀÂ является основанием (рис. 132, à). Искомым геометрическим местом служит дуга ÀÑÂ, опирающаяся на отрезок ÀÂ, в которую вписан угол a, è

симметричная ей относительно отрезка ÀÂ äóãà AC¢B (ðèñ. 132, á). n

П р и м е р 5. На данной прямой l найти точку, равноудаленную от двух заданных точек À è Â.

q Так как геометрическое место точек, равноудаленных от точек À è Â, — это серединный перпендикуляр к отрезку ÀÂ (см. пример 1), то искомая точка Ì есть пересечение этого перпендикуляра и прямой l (ðèñ. 133). n

257. Симметрия. Различают понятия симметрии относительно точки и относительно прямой.

Пусть даны фиксированная точка Î и некоторая

точка Ì. Точка M¢ называется симметричной точ- ке Ì относительно точки Î, если точки Ì, Î è

M¢ лежат на одной прямой и MO = OM¢ (ðèñ. 134).

375

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ðèñ. 132

Если фигура состоит из точек, симметричных относительно точки Î, то такая фигура называется симметричной относительно точки Î, а точка Î — центром симметрии.

Например, параллелограмм является симметрич- ным относительно точки пересечения его диагоналей (рис. 135).

Симметрия относительно точки называется центральной симметрией.

Пусть даны фиксированная прямая l и некоторая точка Ì. Точка M¢ называется симметричной точке Ì относительно прямой l, åñëè MM¢^l è MO = OM¢, ãäå Î — точка пересечения прямых

MM¢ è l (ðèñ. 136).

376