- •«Северный (Арктический) федеральный университет имени м.В. Ломоносова»
- •2014 Оглавление Введение………………………………………………….2
- •§ 1 Основные понятия об управлении, автоматизации управления и регулировании. Системы автоматического управления (сау) и системы автоматического регулирования (сар). Задачи автоматизации
- •1.2 Классификация сар
- •По виду задающего воздействия g(t) замкнутые сар делятся на:
- •§2 Математический аппарат исследования линейных систем автоматического регулирования
- •§ 3 Передаточные функции линейных звеньев
- •§ 4. Алгебра передаточных функций (пф). Основные соединения линейных звеньев.
- •§5. Алгебра пф . Многоконтурная линейная одномерная сау
- •§ 6. Передаточные функции линейных систем.
- •§7 Временные характеристики линейных звеньев
- •§8 Частотные характеристики линейных систем
- •§9 Типовые звенья линейных систем и их динамические характеристики
- •§9.1 Позиционные звенья
- •5. Консервативное звено
- •§9.2 Интегрирующие звенья
- •2. Инерционное интегрирующее звено
- •3. Изодромное звено
- •§ 9.3 Дифференцирующие звенья
- •1. Идеальное дифференцирующее звено
- •2. Инерционное дифференцирующее звено
- •§ 9.4 Звено запаздывания
- •§10. Типовые объекты регулирования и их свойства.
- •10.1. Одноёмкостный объект с самовыравниванием
- •§ 10.2 Одноемкостный объект без самовыравнивания.
- •§10.3 Многоемкостные объекты с самовыравниванием
- •§10.4 Многоемкостные объекты без самовыравнивания.
- •§10.5 Объекты регулирования с запаздыванием
- •§11. Законы регулирования и регуляторы
- •§ 11.1 Пропорциональный регулятор
- •§11.2 Интегральный регулятор
- •§ 11.3 Пи-регулятор
- •§11.4 Пропорционально-дифференциальный (пд-регулятор)
- •§ 11.5 Пропорционально-интегрально-дифференциальный (пид) регулятор
- •Раздел 4. Автоматизированные системы контроля технологических параметров
- •Глава 8. Государственная система приборов
- •8.1 Принципы построения и классификация
- •8.2 Блочно-модульный принцип построения средств гсп
- •8.3. Конструктивные особенности средств измерений
- •Глава 9. Обзор си технологических параметров
- •9.1. Обзор си температуры
- •9.2. Обзор си давления
- •9.3. Обзор си расхода
- •9.4 Обзор си уровня
- •9.5. Аналитические измерения
- •Глава 10. Расчёт основных погрешностей измерительных цепей
- •10.1. Класс точности си
- •10.2. Расчёт погрешностей измерительных цепей
§2 Математический аппарат исследования линейных систем автоматического регулирования
В §1 были рассмотрены основные функции элементов и систем автоматики, последовательность их включения в измерительную цепь.
При изучении динамических характеристик САР каждый элемент системы рассматривается только с точки зрения динамики его работы, вне зависимости от функционального назначения.
Структурной схемой САР называется схема, где элементы показаны в виде прямоугольников (блоков), а направление сигналов указывается стрелками. Внутри блоков пишутся операторы преобразования входного сигнала в выходной. Функциональное назначение элементов не определяется.
На рисунке 3.1 приведён пример структурной схемы системы стабилизации.
Рисунок 2.1 Структурная схема САР
Здесь Wp(р),Wo(р) - передаточные функции регулятора и объекта соответственно.
Динамика процессов управления, а также динамика работы элементов САР описывается дифференциальными уравнениями.
Линейной САР называется система, динамика работы которой описывается линейным дифференциальным уравнением.
Элементарным динамическим звеном называется часть САР, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
Для упрощения решения дифференциальных уравнений используют преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа позволяет свести процесс решения линейного дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения при помощи специальных таблиц.
Таблица преобразований Лапласа
f(t) |
F(p) |
(t) |
1 |
1(t) |
1/p |
Таблица преобразований Лапласа
f(t) |
F(p) |
(t) |
1 |
1(t) |
1/p |
F(p+a) | |
f(n)(t), при н.н.у. |
При использовании преобразования Лапласа производится операция перехода от функций времениf(t) (оригиналов) к функциямF(p) (изображениям ) комплексной переменной р.
Символически это записывается следующим образом:
L{f(t)} =F(p) – прямое преобразование;
L{F(p)} =f(t) - обратное преобразование.
Свойства преобразования Лапласа:
L{f1(t)+f2(t)+….+fn(t)} =F1(p)+F2(p)+…+Fn(p)
L{A·f(t)} = A·F(p) , A=const
L{f(t – τ)} = e · F(p).
Теоремы Лапласа о начальном и конечном значениях функции:
Начальное значение функции:
f(0) = lim f(t) = lim p·F(p)
t→0p→∞
Конечное (установившееся) значение функции:
f(∞) = lim f(t) = lim p·F(p)
t→∞p→0
§ 3 Передаточные функции линейных звеньев
Рассмотрим динамическое звено, которое находится под воздействием полезного сигнала х(t) и возмущениеf(t).
Рисунок 1 Динамическое звено
Тогда его динамика описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением вида:
(1)
преобразуем (1) по Лапласу при нулевых начальных условиях:
(2)
(3)
N(p),M(p),R(p) -операторные полиномы с постоянными коэффициентами;
Y(p),X(p),F(p)- изображение функцийy(t),x(t),f(t) соответственно.
Передаточной функцией звена, по какому либо внешнему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу рассматриваемого воздействия, при этом все другие внешние воздействия полагаются равными нулю.
Из определения следует, что для любого звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий.
Тогда для рисунка1 передаточная функция звена по полезному сигналу, при F(p)=0:
=(4)
передаточная функция звена по возмущающему воздействию , приX(p)=0:
(5)
из уравнений (4) и (5) следует, что
(6)
Многочлен N(p),фигурирующий в знаменателе передаточных функций звена, называютхарактеристическим полиномэтого звена, а уравнение
называется характеристическим уравнениемзвена. Оно представляет собой алгебраическое уравнениеn-й степени и имеетnкорней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно-сопряженные.
Корни характеристического полинома называют полюсами передаточной функции, корни многочлена стоящего в числителе передаточной функции – нулями этой передаточной функции
Если известны передаточные функции для звена на рисунке 1, то изображение выходной величины, согласно принципу суперпозиции:
или (7)
Соотношение (7) удобно представить в виде структурной схемы звена (рисунок 2).
Рисунок 2 Структурная схема звена
ПРИМЕР 1: Дифференциальное уравнение звена имеет вид:
(8)
Найти передаточные функции звена. Получить структурную схему.
РЕШЕНИЕ: По дифференциальному уравнению (8) составим операторное уравнение, используя преобразование по Лапласу и его свойства.
Полагая F(p)=0, найдем передаточную функцию звена по полезному сигналу.
Полагая X(p)=0, найдем передаточную функцию звена по возмущающему воздействию:
Структурная схема звена представлена на рисунке 2.
ПРИМЕР 2. Структурная схема звена имеет вид (рисунок. 2). Передаточные функции определяются по выражениям:
Найти дифференциальное уравнение звена.
РЕШЕНИЕ:
Операторное уравнение звена:
Применяя обратное преобразование Лапласа и его свойства, получим дифференциальное уравнение: