- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
- •Процесс ортогонализации.
- •Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •Нормальное решение
- •Нормальное псевдорешение.
- •Унитарное пространство.
- •Билинейные функции, квадратичные формы.
- •Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •Закон инерции квадратичных форм.
- •Теорема Якоби
- •Критерий Сильвестра.
- •Квадрики.
- •Алгебраическая поверхность
- •Уравнение квадрики.
- •Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •Линейный оператор
- •Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •Примеры линейных операторов.
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •Алгебра линейных операторов.
- •Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •Эквивалентность матриц
- •Ранг, дефект линейного оператора.
- •Линейное преобразование
- •Линейное преобразование. Его матрица
- •Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •Алгебра линейных преобразований.
- •Инвариантные пространства
- •Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •Диагонализируемые преобразования
- •Теорема Шура
- •Сопряженные преобразования.
- •Линейное преобразование и билинейные функции
- •Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Нормальное преобразование и его свойства.
- •Ортогональные преобразования
- •Самосопряженное преобразование.
- •Полярное разложение
- •Приведение квадратичных форм
- •Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •Приведение пары квадратичных форм
- •Первый способ
- •Пучок матриц
- •Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •Аннулирующий многочлен
- •Аннулирующий многочлен вектора.
- •Аннулирующий многочлен подпространства
- •Функции от матриц
- •Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
Рассмотрим несовместную систему линейных уравнений Ax=b. Псевдорешением системы линейных уравнений называется вектор x, на котором достигается минимум нормы невязки |Ax-b|. Задача построения псевдорешения возникает при подборе параметров физических процессов. Левая часть системы уравнений определяется конкретным видом зависимости от параметров, а правая – конкретными измерениями. Поскольку каждое измерение производится с некоторой точностью, то обычно их проводят с избытком. В результате получается несовместная система линейных уравнений, а задача подбора параметров сводится к построению псевдорешения. Сам способ перехода от задачи решения системы линейных уравнений к нахождению минимума длины невязки называется метод наименьших квадратов. Такое название связано с тем, что .
Обозначим через W линейную оболочку столбцов матрицы A. Задача построения псевдорешения эквивалентна задаче определения расстояния от b до W, а точнее к определению проекции b на W. Коэффициенты разложения проекции по столбцам матрицы A являются решениями системы уравнений . Тем самым, задача построения псевдорешения свелась к решению системы линейных уравнений.
Если исходная система имела решение, то оно является также псевдорешением. Необходимым и достаточным условием единственности псевдорешения является условие линейной независимости столбцов матрицы A.
Нормальное решение
В ряде случаев, из множества решений, следует выбрать какое то одно. Нормальным решением системы линейных уравнений Ax=b называется решение наименьшей длины.
Задача отыскания нормального решения сводится к задаче определения расстояния от начала координат до линейного многообразия, заданного системой линейных уравнений Ax=b.
Перпендикуляр, опущенный из начала координат на это линейное многообразие, представляется в виде линейной комбинации строк матрицыA. Следовательно, задача построения нормального решения сводится к решению системы линейных уравнений и вычислению ответа.
Нормальное решение всегда единственно, чего нельзя сказать о решении системы . Необходимым и достаточным условием единственности решения указанной системы является условие линейной независимости строк матрицыA.
Нормальное псевдорешение.
Задача построения нормального псевдорешения сводится к решению системы и вычисления нормального псевдорешения по формуле.
Унитарное пространство.
Пусть V линейное пространство над полем комплексных чисел. Можно ли обобщить понятие скалярного произведения на такое пространство. Оказывается, да! Для этого достаточно незначительно изменить аксиомы скалярного произведения.
.
при .
Черта в свойстве 2 обозначает знак комплексного сопряжения. Пространство над полем комплексных чисел, в котором введено скалярное произведение называется унитарным.
Обозначим через G матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора . Используя матричные операции умножения, получаем. Матрицы Грама в разных базисах связаны формулой, гдеP матрица перехода. Все остальные свойства скалярного произведения полностью сохраняются.