4. Инвариантные пространства

Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любогоx из W его образ также принадлежитW.

Свойство 7.15.- инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть . Тогда.

Свойство 7.16.- инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть , тогда.

Свойство 7.17. Пусть- многочлен, тогдаинвариантное пространство относительно.

Доказательство. Пусть , то есть . Далее,, то есть .

Свойство 7.18. Пусть- многочлен, тогдаинвариантное пространство относительно.

Доказательство. Пусть , тогда . Далее,, то есть .

Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть базис инвариантного подпространстваW. Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первыхk векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n-k)*k, состоящий из одних нулей.

Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.

Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.

5. Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.

Базис одномерного инвариантного подпространства называется собственным вектором. Другими словами, ненулевой вектор x называется собственным, если . Числоназывается собственным. Запишем это равенство в координатах, или. Последнее равенство можно рассматривать как квадратную систему линейных уравнений сn неизвестными. По правилу Крамера, если , то система имеет единственное нулевое решение. Следовательно, собственные числа являются корнями уравнения. Данное уравнение называется характеристическим. Обратно, есликорень характеристического уравнения, то системаимеет ненулевое решение, и значит,является собственным числом. Тем самым доказана теорема.

Теорема 7.22. Корнями характеристического уравнения являются только собственные числа. Все собственные числа являются корнями характеристического уравнения.

Коэффициенты характеристического уравнения не зависят от выбора базиса. Действительно, матрицы линейного преобразования в разных базисах связаны уравнением , откуда .

Собственные векторы для собственного числа принадлежат ядру линейного преобразования. Подпространствоназываетсякорневым подпространством, соответствующим собственному числу .

Приведем простые факты.

Следствие 7.16. Линейное преобразованиелинейного пространстванад полем комплексных чисел имеет собственный вектор.

Доказательство. Над полем комплексных чисел характеристический многочлен имеет хотя бы один корень, а, значит, линейное преобразование имеет собственный вектор.

Следствие 7.17. Линейное преобразованиелинейного пространстванад полем вещественных чисел имеет инвариантное подпространство размерности не выше 2.

Доказательство. Пусть - линейное преобразование пространстваV над полем R. Если характеристический многочлен имеет вещественный корень, то утверждение леммы очевидно. На множестве определим операцию сложенияи умножения на комплексное число. Множествоотносительно введенных операций сложения векторов и умножения на скаляр образует линейное пространство надC. Вектор x из V можно рассматривать как вектор из пространства , записанный в видеx+i0. Базис пространства V является базисом пространства , и, значит, размерности пространствV исовпадают. В пространстверассмотрим линейное преобразование. Пусть- базисV. Тогда - базиси. Пусть- комплексное собственное число, а- соответствующий собственный вектор линейного преобразования. Тогда, и, значит,,. Линейная оболочка векторовx,y образует двумерное инвариантное подпространство.