- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
- •Процесс ортогонализации.
- •Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •Нормальное решение
- •Нормальное псевдорешение.
- •Унитарное пространство.
- •Билинейные функции, квадратичные формы.
- •Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •Закон инерции квадратичных форм.
- •Теорема Якоби
- •Критерий Сильвестра.
- •Квадрики.
- •Алгебраическая поверхность
- •Уравнение квадрики.
- •Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •Линейный оператор
- •Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •Примеры линейных операторов.
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •Алгебра линейных операторов.
- •Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •Эквивалентность матриц
- •Ранг, дефект линейного оператора.
- •Линейное преобразование
- •Линейное преобразование. Его матрица
- •Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •Алгебра линейных преобразований.
- •Инвариантные пространства
- •Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •Диагонализируемые преобразования
- •Теорема Шура
- •Сопряженные преобразования.
- •Линейное преобразование и билинейные функции
- •Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Нормальное преобразование и его свойства.
- •Ортогональные преобразования
- •Самосопряженное преобразование.
- •Полярное разложение
- •Приведение квадратичных форм
- •Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •Приведение пары квадратичных форм
- •Первый способ
- •Пучок матриц
- •Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •Аннулирующий многочлен
- •Аннулирующий многочлен вектора.
- •Аннулирующий многочлен подпространства
- •Функции от матриц
- •Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
Последовательность называется линейной рекуррентной, если существуют такие коэффициенты, что для любогоn справедливо равенство . Для задания линейной рекуррентной последовательности, кроме ее коэффициентов, необходимо знать первые k членов, которые называются начальными условиями. Рассмотрим задачу выражения n-го члена последовательности через его номер и начальные условия.
Обозначим через вектор столбец, состоящий изk компонент , через— матрицу размерамивида. По правилу перемножения матриц имеем:. Многократным применением полученной формулы выводим. Задача вычисленияn-го члена последовательности свелась, тем самым, к вычислению матрицы .
Характеристический многочлен матрицыА равен . Разделим многочленнас остатком. Пусть, где- остаток от деления. Подставив вместоλ матрицу А, получим . По теореме Гамильтона-Кэли каждая матрица является корнем своего характеристического уравнения, то есть, где 0 - нулевая матрица. Таким образом,, и задача вычислениясвелась к вычислению многочленаr(λ).
Разложим многочлен на линейные множители, где. Для каждого неотрицательногоj строго меньшего справедливо равенство, где-j-ая производная характеристического многочлена. Продифференцировав j раз равенство и, подставив в него, получим. Этими условиями многочленr(λ) степени k-1 определяется однозначно. В литературе задача вычисления многочлена по таким условиям носит название «интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра».
В качестве примера вычислим n-ый член линейной рекуррентной последовательности , где . Положим . Характеристический многочлен равен. Остаток от делениянаудовлетворяет соотношениями. Единственный многочлен первой степени, удовлетворяющий этим условиям, равен. Таким образом,и.