5. Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.

Свойство 2.12. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грамавычтем изi-ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, аi-ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.

Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k=1, то - квадрат длины вектора. Еслиk>1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того,и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случайk=2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону(см. Error: Reference source not found). Следовательно, произведениеравно площади параллелограмма натянутого на векторы, а определитель матрицы Грамаравен квадрату площади этого параллелограмма. Еслиk=3, то вектор является ортогональной составляющей векторак плоскости, натянутой на векторы. Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы. Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.

Свойство 2.13 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объемаk-мерного параллелепипеда натянутого на векторыиначе.

Покажем теперь неравенство Адамара.

Теорема 2.4.

Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов. Векторявляется ортогональной составляющей векторана линейную оболочку векторов, и, значит, по неравенству Бесселя (Теорема 2 .2). Далее, , что и требовалось доказать.

Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.

Следствие 2.5 Справедливы неравенстваи.

Доказательство. В n-мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле . Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицыA. Матрица Грама от этой системы векторов равна и по неравенству Адамара. Поскольку, то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим .

Следствие 2.6 Пусть. Тогда.

Доказательство очевидно.

Положим и, далее, по индукции. Матрицаимеет порядок, ее определитель равени все ее элементы равны. Легко убедиться, что неравенство (Следствие 2 .6) обращается на этой матрице в равенство.