3. Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Плоскость – линейное многообразие размерности 2. Плоскость в пространстве задаётся одним уравнением . Подпространство, соответствующее плоскости, задаётся однородным уравнением. В ортонормированном базисе левая часть уравнения является скалярным произведением вектораи вектора плоскости. Таким образом, множество векторов плоскости состоит только из тех векторов, которые ортогональны вектору нормали. Расстояние от точкидо плоскостиравно. Следовательно, коэффициентопределяет удалённость плоскости от начала координат

Прямая в пространстве задаётся системой из двух уравнений (см. раздел Error: Reference source not found) , причём ранг матрицы, образованной коэффициентами при неизвестных, равен 2. Разберём геометрический смысл коэффициентов. Представив прямую как пересечение двух плоскостей, приходим к выводу, что векторыиобразуют базис плоскости перпендикулярной исходной прямой.

2. Евклидово пространство. Скалярное произведение.

Пусть V линейное пространство над полем вещественных чисел. Функция , ставящая каждой паре векторов в соответствие число, называется скалярным произведением если выполнены аксиомы

1. Линейность по первому аргументу .

2. Симметричность:

3. Положительная определенность при.

Пространство над полем вещественных чисел, в котором введено скалярное произведение называется евклидовым.

Величина называется длиной вектора.

Пусть базисV. Выразим скалярное произведение векторов через координаты векторов. Координаты вектора x в базисе e обозначим через . Тогда. Пользуясь свойством линейности выводим. Используя симметричность скалярного произведения и линейности по первому аргументу выводим. Обозначим черезG матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора . Используя матричные операции умножения получаем.

1. Изменение матрицы Грама при изменении базиса.

Допустим, в евклидовом пространстве V заданы два базиса и. Обозначим черезматрицу перехода, связывающие координаты вектора в разных базисах. Пусть для определённости. Скалярное произведение не зависит от выбора базиса, поэтому. Подставим в правую часть равенства вместо координат вектора в базисеe их выражение через координаты в базисе f. В результате придём к равенству . Поскольку полученное равенство справедливо для любых векторовx и y, то выводим .

2. Ортогональность.

Определение 2.2. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 2.1 (Пифагора). Пусть векторыxиyортогональны, тогда.

Доказательство. , т.к. в силу ортогональности.

Теорема 2.2 (неравенство Бесселя). Пусть векторыxиyортогональны, тогда.

Доказательство. По теореме Пифагора . Поскольку, то, что и требовалось.

Теорема 2.3 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца)..

Доказательство. Для любого a справедливо неравенство . Раскроем левую часть. В левой части неравенства записан квадратный трехчлен. Выделим из него полный квадрат. Положивполучим неравенствоиз которого вытекает. Извлекая квадратный корень, получаем требуемое.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет ввести угол между векторами, то есть косинус угла равен отношению .

Определение 2.3 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна.

Свойство 2.6. Ортогональная система векторов линейно не зависима.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов и. Тогда. Таким образоми система векторов линейно независима.

Свойство 2.7. Матрица Грама ортогональной системы векторов – диагональная.