9. Приведение квадратичных форм

   1. Приведение квадратичных форм к главным осям.

Рассмотрим квадратичную форму . МатрицаA является симметричной. Линейное преобразование, заданное матрицей A, является самосопряженным и для этого преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Другими словами, найдется ортогональная матрица T (), что, где- собственные числаA. Поскольку , то квадратичная формаортогональной заменойпереходит в форму. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием называется приведением к главным осям. Полученный факт оформим в виде теоремы.

Теорема 9.35. Квадратичная формапри помощи ортогонального преобразования всегда может быть приведена к канонической форме, де- собственные числаA.

Отметим, что для квадратичной формы выполняется закон инерции. Следовательно, используя теорему Якоби, можно определить число положительных и число отрицательных собственных значений. Собственные значения матриц A и A-tE отличаются на t, поэтому, определяя число положительных и отрицательных собственных значений матрицы A-tE, мы, тем самым, определим количество собственных значений матрицы A меньших t. Выбирая различные t можно найти собственные числа с любой точностью.

2. Приведение пары квадратичных форм

Рассмотрим задачу выбора базиса в котором пара квадратичных форм имеют диагональный вид. Не все пары квадратичных форм можно одновременно привести к диагональному виду, например, формы иxy привести нельзя.

1. Первый способ

Пусть даны квадратичные формы и, причем квадратичная форма- положительно определена. Тогда введем скалярное произведениеи найдем ортонормированный базис, а затем приведем первую квадратичную форму к главным осям. Поскольку ортогональное преобразование не меняет скалярное произведение, то обе квадратичные формы будут приведены к каноническому виду.

2. Пучок матриц

Пусть даны квадратичные формы и. Рассмотрим пучок квадратичных форм. Если квадратичные формыизаменой координатx=Py приводятся к каноническому виду, то все формы из пучка приводятся к каноническому виду этой же заменой координат. Пустьи, тогда. Из последнего равенства выводим, то есть многочленраскладывается на линейные множители над полем вещественных чисел. Из равенствавыводим, чтоi-ый столбец матрицы P удовлетворяет однородной системе уравнений . Таким образом, получается следующий алгоритм приведения пары квадратичных форм к нормальному виду.

1. Раскладываем многочлен на линейные множители. Если разложения не существует, то искомой замены координат не существует.

2. Для каждого линейного множителя многочленанаходим базис подпространства. Если размерность подпространства меньше кратности множителя, то искомой замены координат не существует. В противном случае, будет построен базис, в котором квадратичные формы имеют нормальный вид.

Для обоснования этого подхода требуется показать, что объединение линейно независимых систем векторов, соответствующих разным линейным множителям, образует линейно независимую систему. Доказательство проводится также как и для собственных векторов.

3. Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.

Рассмотрим задачу упрощения уравнения квадрики с использованием ортогональным преобразованием системы координат. Отметим, что при ортогональной замене координат сохраняются метрические характеристики.

Опишем алгоритм приведения квадрики к простейшему виду ортогональным преобразованием.

1. Приводим квадратичную форму к главным осям ортогональным преобразованием. В результате получим уравнение квадрики, где,k – ранг матрицы A, а - ее ненулевые собственные числа.

2. Сдвигом начала координат прииприi>k приведем квадрику к виду , где. Еслиприi>k, то конец, а иначе перейдем на следующий шаг.

3. Положим . Система векторов- ортонормированная. Дополним ее до ортонормированного базиса всего пространства. ПустьT – матрица перехода к новому базису. Сделаем замену переменных . Очевидно, сделанная замена является ортогональной. В новой системе координат уравнение квадрики.

Оформим доказанное выше в виде теоремы.

Теорема 9.36. Ортогональным преобразованием, сдвигом начала координат и умножением на ненулевое число уравнение квадрики приводится к одному из следующих четырех видов,,,.

Обозначим через сумму всех главных миноровk-го порядка матрицы A. Величина является коэффициентом характеристического многочленапри.

Пусть квадрика ортогональным преобразованием x=h+Ty приводится к виду , где , , . Поскольку T ортогональная матрица, то , и, значит, , гдеk=1,…,n. Кроме того, , и, следовательно,. Тем самым установлен следующий факт.

Свойство 9.26 При ортогональном преобразовании не меняются следующие величины , где k=1,…,n, и , которые называются ортогональными инвариантами квадрики.

К сожалению, ортогональные инварианты не всегда позволяют установить простейший тип квадрики.

Свойство 9.27. Пустьи, тогдане меняется при ортогональном преобразовании.

Доказательство. При ортогональном преобразовании (без сдвига) величины не меняются. Пусть квадратичная формаприводится к главным осям ортогональной заменой координат. Пусть- ортогональное преобразование квадрики. Поскольку , то для доказательства утверждения достаточно рассмотреть случай, когда - диагональная матрица и преобразование заключается в сдвиге на векторh начала координат. Если , то. В этой матрице единственный минорk порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение в данном случае доказано. Пусть , тогда. В этой матрице единственный минорk порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение и в данном случае доказано.

Величины называются полуинвариантами ортогонального преобразования.

Набор инвариантов и полуинвариантов квадрики позволяет однозначно установить простейшее уравнение квадрики.