6. Линейный оператор

   1. Линейный оператор. Матрица линейного оператора.

Пусть W и V линейные пространства над числовым полем P. Однозначное отображение линейного пространстваW в линейное пространство V называется линейным оператором, если для любых векторов x,y из W и чисел из поляP справедливо равенство .

1. Примеры линейных операторов.

1. Линейная функция

2. Дифференцирование функций

3. Проекция вектора

4. Пседообратная матрица

2. Матрица линейного оператора.

Пусть базисW. Разложим вектор x из W по этому базису и найдем его образ. Из полученного равенства видно, что образ вектора определяется координатами вектора и значениями линейного оператора на базисных векторах. Обозначим черезбазисV. Координаты вектора x из W в базисе обозначим через, а координаты вектораy из V в базисе обозначим через. Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат, которое можно записать используя матричное умножение следующим образом. Матрицаназывается матрицей линейного оператора и обозначается .

3. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.

Получим формулу изменения матрицы линейного оператора при изменении базиса в пространствах V и W. Пусть новый базисW, а новый базисV. Координаты вектора в разных базисах связаны матрицей перехода. Пусть [x]_e=T[x]_h и [y]_f=Q[y]_g. Отсюда и равенства выводимили. Сопоставляя полученное равенство с, получаем равенство матриц.

2. Алгебра линейных операторов.

Обозначим через множество линейных операторов, действующих из пространстваW в пространство V. На множестве определим операции умножения оператора на скаляри сложение операторов. Оператор назовем нулевым, если все векторы переводятся в ноль. Нулевой оператор обозначим через 0, т.е. Относительно операций умножения на скаляр и сложения множество линейных операторовобразует линейное пространство. Отметим, чтои.

Пусть W,V,U – линейные пространства над полем P, а линейный оператор изW в V, - линейный оператор изV в U. Отображение изW в U является линейным оператором и обозначается . Пусть- базисW, - базисV, - базисU, тогда .

3. Простейший вид матрицы линейного оператора.

   1. Эквивалентность матриц

Матрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T, что A=QBT.

Теорема 6.18. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны.

Доказательство. Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как, то. Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение.

Теорема 6.19. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицуA можно привести к блочному виду , где- единичная матрица порядкаk, а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров.

Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

1. Положим r=1.

2. Если то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3.

3. Сделаем преобразования со строками , гдеi=r+1,…,m, и со столбцами , гдеj=r+1,…,n, и . Увеличимr на 1 и вернемся на шаг 2.

4. Если , приi=r+1,…,m, j=r+1,…,n, то конец. В противном случае найдем i,j>r, что . Переставим строкии столбцы, вернемся на шаг 2.

Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид.

Теорема 6.20. МатрицыA и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.

Доказательство. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6 .18). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что , гдеr=rgA=rgB (Теорема 6 .19). Следовательно, , и матрицыA и B – эквивалентны.

Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.