Классификация точек разрыва

Определение. Если в точке функцияимеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке

или функция не определена, то точка называетсяточкой устранимого разрыва функции .

В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить

.

Определение. Если в точке функцияимеет конечные пределы слева и справа, причем, то точканазываетсяточкой разрыва функции 1-го рода.

При переходе через точку значение функциипретерпевает скачок, измеряемый разностью.

Определение. Точка называетсяточкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен .

Пример

В точках идля функцииустановить характер точек разрыва.

Решение

Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точеки, которые не входят в область определения функции.

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то, тогда предел слева,

если , то, тогда предел справа.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функцияимеет разрыв 1-го рода (скачок функции).

Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке:

если , то, тогда,

если , то, тогда.

Так как односторонние пределы равны , то в точкефункцияимеет разрыв 2-го рода.

3.5. Правила дифференцирования

Определение. Производной функции в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при , если он существует.

По определению

.

Таблица производных

№		№
1	,	10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9		18

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю: .

2.

Теорема. Если каждая из функций идифференцируема в данной точкех, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии ) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

1) ,

2) ,

3) .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Пример

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции .

Решение

3.6. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция гдеили.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, а функциядифференцируема в точке, тогда сложная функциядифференцируема в точке, причем

или

Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если , илии существуют производные, то.

Пример

Найти производную функции .

Решение

Здесь ,

, тогда .

3.7. Метод логарифмического дифференцирования

Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции , показательно – степенной функции, а также, если функция представляет собой выражение вида. Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основаниюе, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.

Пример

Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение

Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основаниюе:

,

применяя свойства логарифмов, получим

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:

,

умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение , получим

.