Рекомендуемая литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие – М.: Высшая школа, 2003.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие – М.: Высшее образование, 2006.

3. Высшая математика для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2006.

4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. Пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.

5. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.

6. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2. – М.: Наука, 1988.

8. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003.

9. Практикум по высшей математике для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2004.

Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры

1. Найти значение матричного многочлена , если,,.

2. Вычислить определитель двумя способами, по правилу треугольника и разложением по строке (или столбцу): .

3. Найти матрицу обратную к матрице и проверить выполнение равенства.

4. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса: .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач

1.1. Матрицы и действия над ними

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей размера m  n; здесь m – число строк, n – число столбцов.

Числа (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.

Если число строк и столбцов матрицы одинаковое , то матрица называется квадратной, порядкаn.

Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например .

Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается . Например, если, то.

Очевидно, что .

Действия над матрицами

Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.

А = В, если =(i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

А + В = С, если +=(i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Пример 1

.

Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.

Пример 2

Матрица называетсяпротивоположной матрице А.

Умножение матриц.

Пусть дана матрица А размера m  n и матрица В размера n  p.

Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:

С = А · В , где С есть матрица размера m  p,

,

если , где (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,p).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.

Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.

Пример 3

Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону

,

в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.

В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.

Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

А Е = Е А = А.

Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Пример 4

Найти значение матричного многочлена , если,,.

Решение

.