а) не содержащие искомой функции и её производной.
б) не содержащие искомой функции.
в) линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Формулы и закономерности, используемые при решении примеров:
1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
или
общий вид дифференциального уравнения.
Если
,
то
уравнение называетсядифференциальным
уравнением в частных производных.
-
общее
решение дифференциального
уравнения порядка k,
где С1,
С2,..,Сk
произвольные постоянные.
-
общий интеграл
или общее
решение, записанное в неявном виде.
Частные решения, получают из общего решения путём задания определённых численных значений (т.е. задаются начальные условия).
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
дифференциальное
уравнение первого порядка
-
дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными.
Для того чтобы привести это уравнению
к уравнению с разделёнными переменными
нужно поделить правую и левую части
выражения на
:
при условии если
.После сокращения получаем:
Интегрируем это выражение:
,
гдеС
– произвольная постоянная. Это выражение
является общим решением уравнения.Пример: найти общее и частное решения уравнения
при
.Решение: Разделим переменные. Для этого, умножим обе части уравнения на
и разделим на
,и
получим уравнение с разделёнными
переменными:
,
проинтегрируем это уравнение, используя
основные формулы интегрирования:
,
или
.
Потенцируя последнее равенство, получаем
- общее решение.Из условия, что при
и
,
найдём значение С:
,
откуда С=2. Частное решение будет иметь
вид
.3. Дифференциальные уравнения второго порядка
-
общий вид дифференциального уравнения
второго порядка.
,
- дифференциальное уравнение второго
порядка, разрешённое относительно
второй производной и его общее решение.
-
дифференциальное
уравнение второго порядка, не содержащее
искомой функции и её первой производной
(решается
двукратным
интегрированием
с введением новой функции, дающей
возможность понизить их
порядок).
Пример: найти общее решение уравнения
.Решение: Пусть
тогда
и
,
тогда
.Разделим переменные, проинтегрируем и найдём первую производную:
или
Разделив в последнем уравнении переменные и проинтегрировав его, найдём саму функцию у:
,
таким образом,
общее решение. С1,
С2
– произвольные постоянные.
дифференциальное
уравнение второго порядка, не содержащее
искомой функции (решается
двукратным
интегрированием
с введением новой функции, дающей
возможность понизить их
порядок).
Пример: найти общее решение уравнения
.Решение: обозначим
,
,
тогда
или
.
Разделим переменные и проинтегрируем:
;
;
.
Потенцируем последнее выражение:
.
Так как
,
то
или
.
Разделив переменные и проинтегрировав,
получим:
;
,
откуда
- общее решение исходного уравнения.
-
линейное
однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Одним из частных решений этого уравнения является функция
,
где
некоторое
число. Тогда:
Подставим значения производных и функции в уравнение:
или
.
Это уравнение называютхарактеристическим
уравнением
данного дифференциального уравнения.
Множитель
отличен от нуля. Таким образом, чтобы
функция
была решением дифференциального
уравнения, необходимо и достаточно,
чтобы
было корнем характеристического
уравнения. Характеристическое уравнение
является алгебраическим уравнением
второй степени, корни которого находят
по формуле:
Если корни k1 ≠ k2 - действительные и различные числа, то все решения уравнения даются формулой:
,
где С1,
С2
– произвольные постоянные.
Если k1=k2=k - действительные и равные числа, то все решения уравнения даются формулой:
,
где С1,
С2
– произвольные постоянные.
Если k1,2=
)
- комплексные числа, то все решения
уравнения даются формулой:
,
где С1,
С2
– произвольные постоянные.Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение: После ряда преобразований, получаем характеристическое уравнение:
.
Используя формулу
,
найдём корниk1=1
и k2=3
- действительные и различны, значит
общее решение уравнения:
.Решить примеры:
а) найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
при
;
,
при
;
,
при
;
при
;
,
при
;
,
при
;
,
при
;
,
при
;
;
при
;
,
при
;
б) найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
в) найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:
г) найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
ЗАНЯТИЕ 1.4
ТЕМА: «ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
Цель занятия: Контрольная работа.
Студент должен уметь:
Использовать формулы для определения производной сложной функции, использовать правила и методы нахождения первообразной функции, вычислять определённый интеграл, находить общее решение дифференциальных уравнений.
В каждом варианте контрольной работы пять заданий:
Найти производную сложной функции.
Найти первообразную функции.
Вычислять определённый интеграл.
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
(при выполнении заданий можно использовать справочную литературу)