Формулы и закономерности, используемые при решении примеров:
Неопределённый интеграл
-
неопределённый интеграл, где
– подынтегральное выражение,
– подынтегральная функция,
– постоянная интегрирования, а
– переменная интегрирования.
1. Основные свойства неопределённого интеграла:
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:
Постоянный множитель k можно выносить за знак неопределённого интеграла:
Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
Основные формулы интегрирования.
1)
8)
2)
9)
3)
10)
4)
11)
5)
12)
6)
13)
7)
Простейшие способы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Этот способ основан на прямом использовании свойств неопределённых интегралов и формул интегрирования.
Пример: вычислить интеграл
.Решение: Используя свойства неопределённого интеграла получаем -
Интегрирование подстановкой (заменой переменных).
Способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.
Пример: вычислить а)
;
б)
.Решение: а) введём подстановку
.Продифференцируем левую часть подстановки по х, а правую по t:
;
;
,откуда
.
Тогда
.Подставив вместо t его значение
,
получим
.б) вычислим интеграл, используя метод подстановки:
2. Определённый интеграл
-
определённый интеграл, где а
– нижний предел интегрирования, b
– верхний
предел интегрирования.
-
площадь криволинейной трапеции
(геометрический смысл определённого
интеграла)
-
формула
Ньютона – Лейбница,
где
- знак двойной подстановки.
3. Основные свойства определённого интеграла:
Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
Определённый интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b] равен сумме определённых интегралов от слагаемых функций:
Постоянный множитель k можно вынести за знак определённого интеграла:
Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на противоположный, т.е.
Если пределы интегрирования равны между собой, т.е. a=b, то определённый интеграл равен нулю.
Если существуют интегралы
и
,
то существует также интеграл
для любого взаимного расположения
точек
Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой точек того же знака, что и функция, т.е. если
то и
при
a><b
Пример: вычислить интегралы: а)
,
б)
Решение:
а)
б)
Решить примеры:
а) Вычислить неопределённые интегралы:
б) вычислить определённые интегралы
Вычислить площадь фигуры, заключённой между кривой
и осью Ох в пределах от 0 до/2.
(использовать формулу для вычисления
площадей плоских фигур
)
ЗАНЯТИЕ 1.3
ТЕМА: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА»
Цель занятия:Изучить дифференциальные уравнения первого и второго порядка с разделяющимися переменными, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения используются при изучении различных явлений и процессов в физике, химии, биологии и медицине. А также в фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях науки. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой профессии получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи изучения качественных особенностей этого решения
Студент должен знать: Основные методы и правила решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка с разделяющимися переменными, а так же линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Студент должен уметь: Решать дифференциальные уравнения первого и второго порядка с разделяющимися переменными, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения второго порядка с разделяющимися переменными: