1. Производная функции первого порядка

• - производная функции;

• - мгновенная скорость (физический смысл производной)

• - угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке (геометрический смысл производной).

• Основные формулы и правила дифференцирования:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. Пример: найти производную функций: а) ;

16. б) ,.

17. Решение:

18. а) по формулам дифференцирования 12, 3, 4 и 1 находим

19. ;

20. б) используя формулы 12, 3, 2, 4находим

21. .

2. Сложная функция и её производная:

• , где .

• 

• Основные формулы дифференцирования сложных функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

18. Пример: найти производную сложной функции .

19. Решение: по формулам дифференцирования 3, 13 находим:

20. 

21. 3. Производная второго и высших порядков

• - производная второго порядка

• - мгновенное ускорение (физический смысл производной второго порядка);

22. Пример: Найти ,,для функции

23. Решение:,,и т.д.

25. 4. Производная функции нескольких аргументов.

• - функция нескольких аргументов

• ()^/_{x, y= const,} ; ()^/_{y, z= const,} ; ()^/_{z, x= const, -} частные производные.

26. ^{z= const x= const y= const}

27. Пример: найти частные производные функции .

28. Решение:

29. .

31. 5. Дифференциал функции.

• - дифференциал функции ;

• - полный дифференциал функции, зависящей от нескольких аргументов

33. Пример: Электрохимический потенциал вычисляется по формуле:

34. ,где- постоянная растворителя,R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура в Кельвинах, С – концентрация вещества, z – заряд атома, F – число Фарадея, - потенциал электрического поля.

35. Найти: а) частные производные ; б) полный дифференциал

36. Решение: а) ;;

37. б)

38. Решить примеры:

39. а) Найти производные:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

41. Найти производные второго порядка:

13. где

14. 

15. 

44. ЗАНЯТИЕ 1.2

45. ТЕМА: «ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

46. Цель занятия: Изучить свойства первообразной функции, неопределённый и определённый интегралы.

48. Студент должен знать: Методы вычисления определённых и неопределённых интегралов, их свойства.

50. Студент должен уметь: Вычислять, используя основные свойства неопределённого и определённого интегралов, применять методы интегрирования.

52. Вопросы, рассматриваемые на занятии:

1. Понятие о первообразной функции и неопределённый интеграл.

2. Основные свойства неопределённых интегралов и способы их интегрирования.

3. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Основные свойства определённых интегралов и способы их интегрирования.