3.3 Разработка алгоритма решения исследуемой транспортной задачи

Решение задачи основано на известном методе потенциалов, алгоритм которого имеет следующий вид:

1) определение опорного решения одним из существующих методов.

2) проверка на оптимальность : для базисных клеток, в которых записываются уравнения

Количество этих уравнений равно n+m-1. Решение этих уравнений позволяет определить значения неизвестных

После того, как будут определены значения этих неизвестных, проверяем выполнение следующих условий для свободных клеток . Для этого, проверяем выполнение следующих неравенств:

Если имеются отрицательные значения выражении , то план перевозок не оптимален. Тогда необходимо переход к другому решению задачи.

3) переход к другому решению. Вначале выбирается клетка, для которой имеет наибольшее отрицательное по абсолютной величине значение. В эту клетку записывают возможное большое значение, затем вводится изменение в таблицу. Следует обратить внимание, что должны выполнятся условие (2) – (4).

3.4 Пример решения исследуемой транспортной задачи

Для иллюстрации алгоритма решения постановленной транспортной задачи рассмотрим следующий пример.

Пусть имеется три поставщика А₁, А₂, А₃ однородного груза, у которых есть объемы перевозимого груза в размере соответственно а₁, а₂, а₃. Имеются 5 потребителей этого груза В₁, В₂,….В₅ с потребностями соответственно в₁, в₂,...в₅. Кроме этого, известны базовые тарифы С_i,j на перевозку единицы груза от ί-го поставщика ј-му потребителю. Для простоты предложим, что зависимость стоимости перевозки единицы груза от объема перевозимого груза имеет линейный вид и одинакова для всех направлений перевозок. Требуется определить значения коэффициента α, при которых план перевозок будет оптимальным.

Пусть рассматриваются следующие исходные данные:

а₁=150 в₁=100

а₂=240 в₂=110 8 2 8 3 6

а₃=140 в₃=90 С_i,j = 2 8 4 7 6

в₄= 100 4 3 2 4 8

в₅=130

Таблица3.2 – Первоначальное решение задачи

1	В1	В2	В3	В4	В5	аi
А1	8 100	2 50	8	3	6	150	U1=0
А2	2	860	490	7 90	6	240	U2=6
Продолжение таблицы 3.2
А3	4	3	2	4 10	830	140	U3=3
вi	100	110	90	100	130	530
	V1=8	V2=2	V3=2	V4=1	V5=5

Суммарная стоимость перевозок для этого плана составит F=3450.

Таблица3.3 – Заполненние базисных клеток

Для базисных клеток			Для своб.кл.
U1+V1=8	U1=0	V1=8	S13=8+2=10	S14=2	S15=1
U1+V2=2	U2=6	V2=2	S21=-12	S25=-5
U2+V2=8	U3=3	V3=2	S31=-7	S32=-2	S33=1
U2+V3=4		V4=1
U2+V4=7		V5=5
U3+V4=4
U3+V5=8

Так как оценка S₂₁= -12, поэтому перераспределение груза дает следующий план перевозок:

Таблица3.4 – Второе опорное решение

2	В1	В2	В3	В4	В5	аi
А1	8 40	2 10	8	3	6	150	U1=0
А2	2 60	8	4	7 90	6	240	U2=6
А3	4	3	2	410	8130	140	U3=9
вi	100	110	90	100	130
	V1=8	V2=2	V3=10	V4=13	V5=17

Суммарная стоимость перевозок для этого плана составит F=2730

Таблица3.5 – Получаем данные

Для базисных клеток					Для своб.кл.
U1+V1=8	U1=0	V1=8	S13=-2			S14=-10	S15=-11
U1+V2=2	U2=6	V2=2	S22=12			S25=-2
U2+V1=2	U3=-9	V3=10	S31=5			S32=10	S33=1
U2+V3=4		V4=13
U2+V4=7		V5=17
U3+V4=4
U3+V5=8

Так как оценка S₁₅=-11, то перераспределяем груз и получаем следующий план перевозок

Таблица3.6 – третье опорное решение

3	В1	В2	В3	В4	В5	аi
А1	8	2 10	8	3	640	150	U1=0
А2	2100	8	490	7 50	6	240	U2=6
А3	4	3	2	450	8 90	140	U3=3
вi	100	110	90	100	130
	V1=3	V2=2	V3=1	V4=2	V5=6

Суммарная стоимость перевозок для этого плана составит F=2290

Таблица 3.7 – Получаем данные

Для базисных клеток			Для своб.кл.
U1+V2=2	U1=0	V1=3	S11=11		S13=9	S14=1
U1+V5=6	U2=5	V2=2	S22=1		S25=-5
U2+V1=2	U3=2	V3=-1	S31=5		S32=-1	S33=0
U2+V3=4		V4=2
U2+V4=7		V5=6
U3+V4=4
U3+V5=8

Так как оценка S₂₅=-5, то перераспределение груза дает следующий план :

Таблица3.8 – Перераспределение груз

4	В1	В2	В3	В4	В5	аi
А1	8	2 110	8	3	6 40	150	U1=0
А2	2 100	8	490	7	6 50	240	U2=0
А3	4	3	2	4100	8 40	140	U3=2
вi	100	110	90	100	130
	V1=2	V2=2	V3=4	V4=2	V5=6

Суммарная стоимость перевозок для этого плана составит F=2040

Таблица 3.9 –Получаем данные

Для базисных клеток			Для своб.кл.
U1+V2=2	U1=0	V1=2	S11=6		S13=4	S14=1
U1+V5=6	U2=0	V2=2	S22=6		S25=5
U2+V1=2	U3=2	V3=4	S31=0		S32=-1	S33=-4
U2+V3=4		V4=2
U2+V5=6		V5=6
U3+V4=4
U3+V5=8

Так как оценка S₃₂=-1, поэтому предлогается следующий план:

Таблица 3.10 – План перевозок

5	В1	В2	В3	В4	В5	аi
А1	8	2 110	8	3	640	150	U1=0
А2	2100	8	450	7	6 90	240	U2=0
А3	4	3	2 40	4100	8	140	U3=-2
вi	100	110	90	100	130
	V1=2	V2=2	V3=4	V4=6	V5=6

Суммарная стоимость перевозок для этого плана составит

F=220+240+200+200+540+80+400=660+740+480=1880

Таблица 3.11 –Получаем данные

Для базисных клеток			Для своб.кл.
U1+V2=2	U1=0	V1=2	S11=6		S13=4	S14=-3
U1+V5=6	U2=0	V2=2	S22=6		S24=1
U2+V1=2	U3=2	V3=4	S31=4		S32=3	S35=4
U2+V3=4		V4=6
U2+V5=6		V5=6
U3+V3=2
U3+V4=4

Так как оценка S₁₄=-3, то перераспределяем груз и получаем следующий план перевозок

Таблица 3.12 –Получаем данные

6	В1	В2	В3	В4	В5	аi
А1	8	2 110	8	3 40	6	150	U1=0
А2	2 100	8	410	7	6 130	240	U2=3
А3	4	3	2 80	4 60	8	140	U3=1
вi	100	110	90	100	130
	V1=2	V2=2	V3=1	V4=3	V5=3

Суммарная стоимость перевозок для этого плана составит

F=220+120+200+40+780+160+240=340+240+940+240=

340+940+480=820+940=1760

Таблица 3.13 –Получаем данные

Для базисных клеток			Для своб.кл.
U1+V2=2	U1=0	V1=1	S11=9		S13=7	S15=3
U1+V4=3	U2=3	V2=2	S22=3		S24=1
U2+V1=2	U3=1	V3=1	S31=4		S32=0	S35=4
U2+V3=4		V4=3
U2+V5=6		V5=3
U3+V3=2
U3+V4=4

Так как оценки S_i,j для всех свободных клеток неотрицательны, поэтому полученный план перевозок будет оптимальным.

Определим значение коэффициента α, при котором план будет оптимальным;

для базисных клеток

Таблица 3.14 –Получаем данные

U1+V2=2-110α	U1=0	V1=-1-150 α
U1+V4=3-40 α	U2=3+50 α	V2=2-110 α
U2+V1=2-100 α	U3=1-20 α	V3=1-60 α
U2+V3=4-10 α		V4=3-40 α
U2+V5=6-130 α		V5=3-180 α
U3+V3=2-80 α
U3+V4=4-60 α

для свободных клеток

Таблица 3.15 –Получаем данные

S11=8+1+150 α=9+150 α≥0
S13=8-1+60 α=7+60 α≥0
S15=6-3+180 α=3+180 α≥0
S22=8-3-50 α-2+110=3+60 α≥0
S24=7-3-50α-3+40α+1-10 α≥0
S31=4-1+20α+1+150α=4+170α≥0
S32=3-1+20α-2+110α=130α≥0
S35=8-1+20α-3+180α=4+200α≥0

Таким оброзом план, приведенный в таблице 6 будет оптимальным, при

В этом заключается новая постановка транспортной задачи.

На практике стоимость перевозки единицы груза снижается с ростом объема перевозимого груза. Этот факт не учитывается при решении транспортной задачи в классической постановке, в которой стоимость перевозки единицы груза фиксирования.

В новизне известная постановка транспортной задачи дополнена условием того, что стоимость перевозки единицы груза снижается с ростом объема перевозки. Рассмотрен пример, в котором зависимость линейна.

В дальнейшем предполагается исследовать и обосновать вид указанной зависимости для различных грузов и направлений перевозок.