Диференціальне рівняння моделі

Для складання математичного опису моделі ідеального витіснення виділимо й розглянемо елементарний об’єм зони потоку витіснення (див. рис. 2.8) об'ємом , довжиноюй перерізом, що дорівнює одиниці ( ).

Вхідний і вихідний потоки для розглянутого -го елементарного об’єму відповідно до рівняння (2.2-1) будуть

, (2.2-13а)

, (2.2-13б)

деі‑ потоки (кількості речовини) на вході й виході елементарного-го об’єму, тобто в-му і-му перерізах;,‑ концентрація на вході й на виході елементарного-го об’єму;— площа перерізу зони ідеаль-ного витіснення;— середня лінійна швидкість потоку (для проточних систем вважається, щозберігає середнє значення в усій зоні витіснення).

Аналогічно, як і в випадку ідеального перемішування, кількість речовини , яка буде акумулюватися в елементарному об'єміпри порушенні режиму рівноваги, тобто колине дорівнює, можна виразити рівнянням (з урахуванням того, що)

. (2.2-14)

Якщо розділити величину збільшення кількості речовини на об'єм, то одержимо вираз для опису зміни концентрації в розглянутому-му елементарному об’єміу вигляді

, (2.2-15)

де — різниця концентрацій у суміжних-му і-му об’ємах;— зміна концентрації в елементарному об’ємі;— значення концентрації до початку збурювання;— концентрація у будь-який момент часу (змінна величина);(враховуючи, шо). Оскількине залежить від часу, рівняння (2.2-15) можна переписати у вигляді

. (2.2-16)

У результаті диференціювання правої й лівої частин рівняння (2.2-16) за часом і граничного переходу при одержуємо

, (2.2-17)

або остаточно

. (2.2-18)

Рівняння (2.2-17) описує зміна концентрації в елементарному-му об'ємізони ідеального витиснення, але оскільки режим потоку поршневий, то рівняння справедливе і для всього потоку. Тому диференціальне рівняння моделі ідеального витіснення в загальному вигляді записують так:

. (2.2-19)

Таким чином, математична модель режиму ідеального витіснення являє собою диференціальне рівняння в частинних похідних, оскільки основна змінна процесу — концентрація— змінюється в часі і у просторі. Як відомо,це модель із розподіленими параметрами.

Якщо замість середньої лінійної швидкості потоку в рівняння (2.2-19) підставити її значення, то воно набуває такого вигляду

. (2.2-20)

Рівняння (2.2-20) відображає розподіл речовини (концентрації) у потоці з гідродинамічною структурою ідеального витиснення. Аналогічне за формою рівняння може бути також виведене, якщо розглянути зміну іншої характерної змінної, наприклад, температури , у потоці теплоносія зі структурою ідеального витіснення. Тоді змінув потоці теплоносія за рахунок гідродинаміки можна зобразити так:

, (2.2-21)

де — теплоємність речовини потоку теплоносія;— температура у будь-якій точці зони ідеального витіснення. Модель у вигляді рівняння (2.2-21) часто використовується для опису гідродинаміки потоку теплоносіїв у теплообмінних апаратах, що працюють за принципом витіснення.

Розв'язання диференціального рівняння моделі

Для об'єкта, структура потоку в якому відповідає моделі ідеального витіснення, розв'язки диференціального рівняння (2.2-20), відповідні стандартним сигналам, будуть такі:

• при ступінчастому стандартному сигналі на вході (перехідна функція)

; (2.2-22)

• при імпульсному стандартному сигналі на вході (функція ваги)

. (2.2-23)

Перехідна й імпульсна перехідна характеристики, побудовані відповідно до виразів для перехідної (2.2-22) і імпульсної перехідної (2.2-23) функцій, подані на рис. 2.9аі 2.9бвідповідно. Із графіків можна побачити, що вихідні криві повторюють за формою вхідні впливи, але тільки зі зміщенням за часом на величину. Звідси випливає практичний результат, яким користуються при експериментальному вивченні невідомої структури потоку в апараті: якщо при стандартних ступінчастому або імпульсному вхідних сигналах на виході потоку реєструється їхнє повторення зі зміщенням за часом, то такий потік відповідає моделі ідеального витіснення.