|
Учтём ещё условия Dx → ∞ |
и |
Dx |
= c . Тогда Kξ (τ)= Dxe−λ |
|
τ |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
λe−λ |
|
τ |
|
= cλe−λ |
|
τ |
|
. |
Kξ(2)(τ)= lim cλe−λ |
|
τ |
|
= c lim |
λe−λ |
|
τ |
|
= cδ(τ). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
λ→∞ |
|
|
|
|
λ→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, случайный процесс ξ(t) представляет собой белый шум.
2.5. Пуассоновские процессы, потоки событий
Пуассоновским процессом с параметром λ называется случайный процесс ξ(t,ω),t T = [0,∞], обладающий следующими свойствами:
а) ξ(0, ω)≡ 0 ;
б) n >1 и tk T,k =1,n таких, что 0 < t0 < t1 <... < tn , случайные величины ξ(tk ,ω)− ξ(tk −1,ω),k =1,n являются независимыми;
в) |
t1,t2 T |
таких, что 0 ≤ t1 < t2 |
случайная величина |
||||
ξ(t2 ,ω)− ξ(t1,ω) |
|
распределена по закону Пуассона с параметром |
|||||
λ(t2 −t1 ), т.е. |
|
|
|
|
|
||
P{ξ(t |
2 |
,ω)− ξ(t , |
ω)= k}= |
(λ(t2 −t1 ))k |
e−λ(t2 −t1), |
k {0} N. (2.26) |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим приведённое формальное определение более подробно. Пуассоновский процесс описывает распределение потока событий, регистрируемых во времени в порядке их поступления.
Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени: поток вызовов на телефонной станции, поток забитых шайб при игре в хоккей, поток электронов, испускаемых в электронной лампе, и т.п.
Пусть ξ(t1,t2 ) – число событий на интервале (t1,t2 ) – случай-
ная величина, принимающая дискретные значения 0,1,2,…, n с вероятностью P{ξ(t1,t2 )= n}= Pn (t1,t2 ). Найдём распределение
вероятностей Pn (t1,t2 ) при учёте следующих условий, которым удовлетворяют пуассоновские процессы.
44
1. Условие независимости. Для любых t1 < t2 <... < tn случай-
ные величины ξ(ti ,ti+1 ) независимы. Это значит, что число событий, попадающих на любой интервал времени τ = t j −ti , не зави-
сит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал. Условие независимости пуассоновских событий друг от друга означает отсутствие последействия в пото-
ке. Если ξ(t) – число событий потока на интервале (0,t), то ξ(t)
будет случайной неубывающей целочисленной функцией от t ; она остаётся постоянной во всяком промежутке, в котором не произошло ни одного события.
2. Условие однородности или стационарности потока означа-
ет, что вероятности Pn (t1,t2 ) не зависят от выбора начального момента t1 . Это значит, что вероятность попадания того или другого
числа событий в любой интервал времени длиной τ зависит только от величины τ и не зависит от того, где именно на оси 0t этот интервал расположен. Это свойство неизменности вероятностного режима для всех промежутков одинаковой длительности.
Таким образом, поток событий ξ(t) однороден во времени, случайные величины ξ(t1,t2 ) и ξ(t1 + τ,t2 + τ) одинаково распределе-
ны. За малый промежуток времени |
(t,t + ∆t) |
с |
вероятностью |
|
λ∆t +ο(∆t) возникает только |
одно событие |
из потока |
||
P{ξ(t,t + ∆t)=1}= λ∆t + ο(∆t), где |
λ – |
параметр |
пуассоновского |
|
потока, ο(∆t) – бесконечно малая более высокого порядка,чем ∆t .
3. Условие ординарности. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный интервал ∆t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е. P{ξ(t,t + ∆t)≥ 2}= ο(∆t).
Практически ординарность потока событий означает, что события в нём появляются «поодиночке», а не группами по два, по три и т.д.
Поток событий называется простейшим, если события в нём независимы, сам поток однороден и стационарен. Ординарный поток независимых событий называется пуассоновским пото-
ком. Простейший поток |
есть частный случай пуассоновского |
(а именно стационарный |
пуассоновский поток, см. пример 9 |
в подразд. 2.4). |
|
45
Найдём вероятности событий пуассоновского потока, т.е. выведем формулу (2.26):
Pk (τ)= P{ξ(t,t + ∆t)= k}= P{ξ(t,t + τ)= k}=
= |
(λτ)k |
e |
−λτ |
= |
(λ∆t)k |
e |
−λ∆t |
. |
k! |
|
k! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим вначале случай |
k = 0 . Из условий 1 и 2 пуасс о- |
|||||||
новского потока следует, что P0 (t + ∆t)= P0 (t) P0 (∆t), где P0 (t) – вероятность того, что на интервале (0,t) не произойдёт ни одного
события.
Очевидно, P0 (∆t)=1− P1(∆t)− P2 (∆t)−... =1− P1(∆t)−φ(∆t), где
φ(∆t)= P2 (∆t)+ P3 (∆t)+... . |
Так как P1(∆t)= λ∆t +ο(∆t)= (λ +ε1 )∆t и |
||||||||||||||||||||||||
φ(∆t)= ε2∆t , где ε1 |
|
и ε2 |
– бесконечно малые более высокого по- |
||||||||||||||||||||||
рядка, |
чем |
∆t , |
|
|
то |
P0 (∆t)=1−(λ +ε1 +ε2 )∆t , |
а P0 (t + ∆t)= |
||||||||||||||||||
= P |
(t)[1− |
(λ + ε |
1 |
+ ε |
2 |
)∆t]. Отсюда |
P0 (t + ∆t)− P0 (t) |
= −(λ +ε +ε |
2 |
)P (t). |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При переходе в последнем уравнении к пределу при |
|
∆t → 0 |
||||||||||||||||||||||
получим |
дифференциальное |
уравнение |
относительно |
|
|
P0 (t): |
|||||||||||||||||||
lim |
P0 |
(t + ∆t)− P0 |
(t) |
= P/ (t)= |
lim |
[−(λ + ε |
+ ε |
2 |
)P (t)]= −λP (t), |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∆t→0 |
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∆t→0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т.е. |
|
P/ (t)= |
−λP (t). С |
учётом очевидного |
начального |
условия |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P0 (0)=1 это дифференциальное уравнение с разделяющимися пе- |
|||||||||||||||||||||||||
ременными даёт |
|
|
|
|
|
P (t)= e−λt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
получена |
вероятность |
непоявления |
ни |
одного |
события |
|||||||||||||||||||
(k = 0) на интервале (0,t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Найдём теперь вероятность Pk (t + ∆t) |
при |
k ≥1 . Произведём |
||||||||||||||||||||||
опять разбиение интервала на два (0,t) (t,t + ∆t). |
Если интервал |
||||||||||||||||||||||||
∆t достаточно мал, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем ∆t (как в предыдущем случае), либо за время ∆t происходит одно событие совместно с тем, что за время t уже произошло k −1 событие, либо за ∆t не происходит ни одного события совместно с тем, что за время t произошло k событий.
46
|
Следовательно, если ∆t |
мало, то по условию 1 (условие неза- |
||||||
висимости) Pk (t + ∆t) Pk−1(t) P1(∆t)+ Pk (t) P0 (∆t). |
Тогда, так как |
|||||||
P |
(∆t) λ∆t, P (∆t) 1−λ∆t , то |
Pk (t + ∆t)− Pk (t) |
= −λP (t)+λP |
(t) |
||||
|
||||||||
1 |
0 |
|
|
∆t |
k |
k−1 |
|
|
для k =1,2,3,.... |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Очевидными начальными условиями для этой системы диф- |
|||||||
ференциальных уравнений, |
получаемых в пределе при |
∆t → 0 , |
||||||
являются условия |
P0 (0)=1, P1(0)= 0,..., Pk (0)= 0 . Введём произво- |
|||||||
дящую функцию |
для |
вероятностей Pk (t), |
а |
именно |
||||
∞
U (t, x)= ∑Pk (t)xk . Так как 0 < Pk (t)≤1 , то этот ряд сходится при
k=0
x≤1. Продифференцировав ряд по t в его области сходимости,
получим
|
|
|
|
∂U |
∞ |
∞ |
|
(t)]xk = |
|
|||||
|
|
|
|
= ∑Pk/ (t)xk |
= ∑[− λPk (t)+ λPk−1 |
|
||||||||
|
|
|
|
∂t |
k=0 |
k=0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= −λ∑Pk (t)xk + λx∑Pk−1(t)xk−1 = −λU + λxU , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k=0 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|||
т.е. |
∂U |
= −λU +λxU = λU (x −1). |
Здесь, как |
и в |
предыдущем |
|||||||||
∂t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
||||
случае, |
переменные |
разделяются: |
|
= λ(x −1)∂t, |
|
|||||||||
|
U |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lnU (t, x) |
|
t0 = λ(x −1)t |
|
|
|
∞ |
|
|
||||||
|
|
t0 , |
но |
U (0, x)= ∑Pk (0)x0 =1 , |
а |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|||
P1(0)= P2 (0)=... = Pk (0)= 0 .
|
|
∞ |
k |
|
Итак, U (t, x)= eλ(x−1)t = e−λt eλxt = e−λt ∑ |
(λxt) |
|||
k! |
||||
|
|
k=0 |
||
Тогда |
|
|
|
|
P (t)= |
(λt)k |
e−λt . |
||
|
||||
k |
k! |
|
|
|
|
|
|
||
= ∑∞ (λkt)k e−λt xk . k=0 !
(2.28)
47
Определим математическое ожидание и дисперсию случайного процесса. Продифференцируем обе части равенства
∞ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−λt eλxt = e−λt ∑ |
(λt) |
|
xk |
по x и положим x =1 , тогда |
|
||||||||||
k! |
|
||||||||||||||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e−λt [eλxt λt] |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
−λt |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= λt = |
∑e |
|
(λt) kxk−1 |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
x=1 |
|
|
k=0 |
|
|
k! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(λt) |
|
|
|
|
|
|
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
−λt |
k |
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
= ∑e |
|
|
k = |
∑Pk (t) k , |
|
|
|
|
||||||
|
k=0 |
|
|
k! |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|||
∞
т.е. ∑Pk (t) k = λt . Для дискретной случайной величины X по
k=0
n
определению математическое ожидание равно: mx = ∑PXi xi .
k =1
Следовательно, в нашем случае
mξ(t)= M [ξ(t)]= λt . |
(2.29) |
Аналогично, дифференцируя это же равенство ещё раз, получим
e−λt [eλxt λ2t 2 ] |
|
= λ2t 2 |
|
∞ |
−λt |
k |
k(k −1)xk−2 |
|
|
|
|
|
= |
∑e |
|
(λt) |
|
|
|
= |
|||
|
x=1 |
|
k=0 |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
−λt |
k |
∞ |
∞ |
|
|
= ∑ |
e |
|
(λt) |
k(k −1)= ∑Pk (t)k 2 |
−∑Pk (t)k = m2 |
(t)− m1(t), |
|
|
k! |
||||
k=0 |
|
k=0 |
k=0 |
|
||
где m2 (t)= M [ξ2 (t)] и m1(t)= M [ξ(t)] – соответствующие моментные функции. Но D(ξ(t))= M [ξ2 (t)]−{M [ξ(t)]}2 , тогда
D (t)= D(ξ(t))= λ2t2 |
+λt −λ2t2 |
= λt . |
(2.30) |
ξ |
|
|
|
Таким образом, пуассоновский случайный процесс – нестационарный случайный процесс.
Найдём теперь ковариационную функцию Kξ (t1,t2 ). Пусть t2 > t1 . Рассмотрим промежуток (0,t2 ], разбив его на два промежутка: (0,t1] и (t1,t2 ]. Приращение пуассоновского случайного
48
процесса на всём промежутке (0,t2 ] равно сумме его приращений
на промежутках (0,t1] и |
(t1,t2 ]: ξ1(t2 )= ξ1(t1 )+ξ2 (t2 −t1 ), где |
ξ2 (t2 −t1 )= ξ1(t2 )−ξ1(t1 ) – |
приращение процесса за промежуток |
(t1,t2 ], т.е. число событий за время (t1,t2 ].
По определению пуассоновского случайного процесса его приращения на непересекающихся промежутках времени являются независимыми случайными величинами. Тогда
M [(ξ1 (t1 )− M [ξ1 (t1 )])(ξ2 (t2 − t1 )− M [ξ2 (t2 −t1 )])] = 0 . Из-за незави-
симости процессов ξ1(t1 ) и ξ2 (t2 −t1 ) получим M [ξ1(t1 )ξ2 (t2 −t1 )]=
= M [ξ |
(t |
)]M [ξ |
2 |
(t |
2 |
−t |
)]= λt λ(t |
2 |
−t |
)= λ2t |
(t |
2 |
−t ). С другой |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
||||
стороны, |
|
|
|
|
|
M [ξ1(t1 )ξ2 (t2 −t1 )]= M [ξ1(t1 )(ξ1(t2 )−ξ1(t1 ))]= |
|||||||
= M [ξ1(t1 )ξ1(t2 )]− M [ξ12 (t1 )]. |
|
Тогда |
|
|
M [ξ1(t1 )ξ1(t2 )]= |
||||||||
= λ2t1(t2 −t1 )+ λ2t12 + λt = λ2t1t2 + λt1 , так как |
|
M [ξ12 (t1 )]= λ2t +λt . |
|||||||||||
Отсюда можно легко найти ковариационную функцию |
|||||||||||||
пуассоновского |
|
|
процесса: |
|
|
Kξ (t1,t2 )= cov[ξ1(t1 )ξ1(t2 )]= |
|||||||
=M [(ξ1(t1 )−λt1 )(ξ1(t2 )−λt2 )]= M [ξ1(t1 )ξ1(t2 )−λt2ξ1(t1 )−λt1ξ1(t2 )−λ2t1t2 ]=
=M [ξ1(t1 )ξ1(t2 )]−λt2M [ξ1(t1 )]−λt1M [ξ1(t2 )]+ λ2t1t2 =
=M [ξ1(t1 )ξ1(t2 )]−λ2t1t2 −λ2t1t2 +λ2t1t2 = M [ξ1(t1 )ξ1(t2 )]−λ2t1t2 .
Окончательно получим
K |
ξ |
(t |
,t |
2 |
)= λ2t t |
+λt |
−λ2t t |
= λt . |
(2.31) |
|
1 |
|
1 2 |
1 |
1 2 |
1 |
|
Аналогично при t1 > t2 найдём Kξ(t1,t2 )= λt2 . Объединив оба результата, получим
Kξ(t1,t2 )= λmin(t1,t2 ). |
(2.32) |
При t1 = t2 Kξ(t,t)= Dξ(t)= λt , что совпадает с результатом
формулы (2.30). Выражение для нормированной ковариационной функции (см. формулу (1.25)) найдём при t1 < t2 :
|
|
|
|
|
Kξ (t1,t2 ) |
|
|
|
|
|
λt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(t ,t |
|
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
. |
(2.33) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ξ |
1 |
|
|
D |
(t |
)D (t |
2 |
) |
|
|
λt |
λt |
2 |
|
|
|
t2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ξ |
1 |
ξ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49
Приведём в заключение формулу для характеристической функции процесса Пуассона:
|
|
ϕ(α,t)= M [eiαξ(t )] = exp(λt(expiα)−1). |
|
(2.34) |
||||||
|
По |
формуле (1.18) |
|
найдём, |
например, |
математи- |
||||
ческое |
ожидание |
|
m (ξ(t))= m |
ξ |
(t)= 1 ∂ϕ(α,t) |
|
||||
|
|
= |
||||||||
|
|
|
1 |
|
i |
∂α |
|
α=0 |
||
|
1exp(λt(exp(iα)−1))λt exp(iα)i |
|
= λt , |
|
|
|
||||
= |
|
что соответствует дейст- |
||||||||
|
||||||||||
|
i |
|
|
α=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вительному положению.
Таковы основные характеристики пуассоновского случайного процесса.
Пример 10. Пусть ξ(t) – однородный пуассоновский случайный процесс с параметром λ . Обозначим через {τn } последова-
тельность моментов наступления случайных событий. Доказать, что временные разности τn+1 −τn ,n = 0,1,2,...,τ0 = 0 – одинаково
распределённые независимые случайные величины с функцией распределения F(t)=1−e−λt при t ≥ 0 и F(t)= 0 при t < 0.
По формуле (2.27) вероятность непоявления ни одного собы-
тия на интервале (t |
0 |
,t |
0 |
+ ∆t) равна |
P (t)= e−λt . Если обозначить |
||||
через τ |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
случайную длину промежутка до первого появления со- |
|||||||||
бытия |
пуассоновского процесса |
после |
момента t0 , то |
||||||
P(τ > t) |
|
|
|
|
|
|
−e |
−λt |
,t ≥ 0, Таким обра- |
= e−λt . Тогда |
F(t)= P(τ ≤ t)= 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,t < 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
зом, длительность ожидания появления события в процессе Пуассона распределена по показательному закону, т.е. плот-
ность вероятности f (t)= λe−λt . Показательный закон часто
наблюдается в распределении случайных промежутков, например в распределении сроков службы некоторых приборов, материалов и т.п.
Пример 11 [6]. Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью λ = 2 . Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую
50