Лабораторная работа № 7 (факультатив). Моделирование случайных процессов методом условных распределений в пакете Mathcad

Моделирование случайных процессов методом условных распределений весьма сложно, громоздко и трудоёмко. Метод требует реализации n датчиков случайных чисел с несовпадающими

функциями плотности f1, f2 ,..., fn . Эти условные плотности в об-

щем случае зависят от параметров, причём вид функций fi ,i =1,n

может меняться в зависимости от набора их аргументов. Интегралы вида (4.2) и (1.11) берутся в конечном виде исключительно редко, поэтому практически всегда их приходится вычислять численно, а следовательно, приближённо.

При больших размерностях функции плотности эти вычисления оказываются очень громоздкими и не пригодными для практического использования. Поэтому метод условных распределений в основном используется при моделировании марковских процессов, что и было продемонстрировано в лабораторной работе № 5.

В рамках математического пакета Mathcad реализация данного метода также порождает значительные трудности. В основном это связано с автоматизацией вычисления условных плотностей по формуле (1.11). Для сокращения объёма общей программы желательно иметь механизм изменения имен идентификаторов и подпрограмм, например в циклах, что невозможно в рамках пакета Mathcad. Вследствие этого, хотя все вычисления по методу условных распределений формально могут быть выполнены, длина общей программы получается очень большой.

Метод кусочной аппроксимации. Этот метод является состав-

ной частью данной лабораторной работы. При известных условных плотностях вида (1.11), а следовательно, известных вероятностях в ряду распределения случайной величины X , необходимо на ко-

нечном отрезке X [a,b] построить реализации X , входящие в её

ряд распределения. Идея этого метода заключается в следующем. Пусть требуется получить реализации случайной величины X

с известной функцией плотности f (x), причём X [a,b]. Множество значений [a,b] случайной величины X всегда можно опреде-

лить подбором, т.е. неограниченное множество заменить ограниченным. Общий интервал [a,b] разбивается на n элементарных

216

(малых) интервалов [xk , xk+1],k = 0,n −1, x0 = a, xn−1 = b . Распределение случайной величины X в пределах каждого такого интервала аппроксимируется каким-нибудь простым распределением, например равномерным (рис. 4.7).

f(x)

Xс кусочно-равномерным распределением, необходимо:

1)выбрать интервал [xk , xk+1] в соответствии с вероятностью

pk . Этот выбор означает моделирование дискретной случайной величины, принимающей значения x0 = a, x1,..., xk , xk+1,..., xn−1 = b с вероятностями p0 , p1,..., pk ,..., pn−1 . Интервал (0,1) разбивается на n −1 подынтервалов длиной xk+1 − xk = pk каждый. При полу-

чении очередной стандартной равномерно распределённой случайной величины γ R(0,1) определяется, к какому интервалу она

принадлежит γ [xk , xk+1];

2) сформировать γ1 R(xk , xk+1 ). Тогда X = xk + γ1 .

Составим в пакете Mathcad подпрограмму, реализующую метод кусочной аппроксимации, и проверим правильность её работы для нормального распределения. Поскольку случайная величина

X N(mx , Dx ) распределена на −∞ < X < ∞ , урежем распределение и зададим X [−3,3]. Тогда программа проверки будеттакова:

217

Пусть f (x, y)= ln(3)2 3−x−y , x, y ≥ 0 . Усечём области определения переменных x и y : x, y [0,5] и построим на плоскости XOY сетку с шагом ∆x = ∆y =1. Для первого отсчёта по формуле (4.2) безусловная плотность вероятности будет иметь вид

f (x)= ∫5 f (x, y)dy , численное значение которой необходимо вы-

0

числить во всех узлах сетки для переменной x . Таким образом будет получен вектор значений функции плотности первой компоненты x . После нормирования этого вектора придём к вектору вероятностей в ряду распределения. По этим вероятностям необходимо смоделировать реализации первого отсчёта в узлах сетки по переменной x . Для решения подобной задачи применим вышеприведенную подпрограмму kusapp.

Для распределений с быстро убывающими значениями вероятностей (например, для данного случая) следует принять меры, чтобы слишком часто не повторялись реализации с максимальной вероятностью. Это нужно сделать, чтобы отсчёты разных реализаций для одного момента не сливались на графике в одну точку. Для этого служит подпрограмма table1.Её роль та же, что у по д- программы table в лабораторной работе № 5.

Для второго отсчёта реализацию численных значений компонент вектора функции плотности можно получить из значений

функции f (x, y) в узлах прямоугольной сетки по переменным x, y . Просуммируем значения матрицы f (xi , y j ) по столбцам. По-

лучим вектор значений функции плотности f (yх). Его норми-

ровка, как и в предыдущем случае, даст вектор условных вероятностей компоненты y в ряду распределения [11]. Значения реали-

заций случайного процесса для второго отсчёта получим опять после работы подпрограмм kusapp и table1.

Для графической иллюстрации результатов работы построим график значений первого и второго отсчётов численных реализаций данного случайного процесса. При выбранной двумерной функции плотности методом условных распределений значения следующих отсчётов построить нельзя. Таким образом, общая программа в пакете Mathcad для данного метода может выглядеть следующим образом:

221

Задание. Из табл. 12 выбрать номер варианта, совпадающий с номером Вашей фамилии в журнале преподавателя, и методами, изложенными в лаб. работе №7, смоделировать два отсчёта для пяти реализаций случайного процесса с заданной двумерной функцией плотности вероятности.

233