Так как mξ = m ≠ 0 , то воспользуемся формулой, аналогичной

2.4. Абсолютно случайный процесс (белый шум)

Случайный процесс ξ(t), у которого ковариационная функция равна произведению неслучайной функции f (t) на дельтафункцию δ(t2 − t1 )= δ(τ), т.е.

называется нестационарным белым шумом. Если f (t) не зависит от t , т.е. f (t)= c = const , то

и случайный процесс ξ(t) называется стационарным белым шу-

мом. Название «белый шум» возникло по аналогии с белым светом, который в видимой части имеет равномерный сплошной спектр.

Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержа-

τ+ε

щему точку τ = 0 , равен единице: ∫δ(t)dt =1, ε R .

τ−ε

Из этого следует, что значения рассматриваемого процесса ξ(t) в любые два, сколь угодно близкие моменты времени не кор-

релированы, а следовательно, независимы. Поэтому подобный процесс называют абсолютно случайным процессом. Ковариационная функция белого шума равна нулю для всех τ , кроме τ = 0 ,

40

Рис. 2.4. Графики функций Kξ (τ) и Sξ (ω) белого шума

Найдём спектральную плотность абсолютно случайного процесса. По формуле (2.19)

Таким образом, спектральная плотность белого шума постоянна на всех частотах (см. рис. 2.4). Абсолютно случайный процесс можно представить как предельный случай последовательности коротких независимых и одинаково распределённых импульсов с большой дисперсией. Такие процессы встречаются в инженерных задачах при рассмотрении различных естественных помех типа теплового и радиошума.

При τ = 0 Kξ(τ)= ∞ , что физически невозможно, поэтому

формулы (2.23), (2.24) и (2.25) следует рассматривать как удобную математическую абстракцию.

Пример 9. На оси 0t имеется простейший поток событий (стационарный пуассоновский, см. подразд. 2.5) с интенсивностью λ . Случайный процесс ξ(t) в момент появления i -го события

(i =1,2,3,...) принимает случайное значение Xi и сохраняет его до

следующего события в потоке (рис. 2.5). В начальный момент ξ(0)= X 0 , причём случайные величины X 0 , X1,..., Xi ,... независи-

мы и одинаково распределены. Рассмотреть предельный случай

41

для случайного процесса ξ(t) при условии λ → ∞, Dx → ∞ и

Dλx = c = const .

Рис. 2.5. Графическое представление простейшего потока событий

Найдём вначале характеристики случайного процесса в непредельном случае. Пусть функция плотности вероятности распределе-

−∞

функции воспользуемся формулой Kξ(t1,t2 )= M [(ξ(t1 )−mx )(ξ(t2 )−mx )]. Если между точками t1 и t2 не появилось ни одного события,

то ξ(t1 )− mx = ξ(t2 )− mx и Kξ (t1, t2 )= M [(ξ(t1 )− mx )2 ]= Dx . Если же между точками t1 и t2 появилось хотя бы одно событие (см.

рис. 2.5), то M [(ξ(t1 )−mx )(ξ(t2 )−mx )]= 0 , так как величины Xi независимы по условию задачи.

Для вычисления ковариационной функции нужно применить формулу (1.17а) для дискретных случайных процессов (см. подразд. 1.4). В нашей схеме следует учесть два случая: когда в ин-

42

тервале (t1,t2 ) длиной τ произошло хотя бы одно событие процесса ξ(t) или не произошло ни одного. Для пуассоновского про-

не зависит от вида функции f (x), а зависит только от дисперсии Dx , т.е. процесс ξ(t) стационарен. Вид ковариационной функции

. Отсюда

K(1)(τ)= Dx ,τ = 0,

ξ0,τ ≠ 0.

Рис. 2.6. Графики функции Kξ(τ) для разных значений параметра λ

43