Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
С.Д. ШАПОРЕВ, Б.П. РОДИН СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.pdf
Скачиваний:
1014
Добавлен:
09.03.2016
Размер:
2.11 Mб
Скачать

Задание. Выбрать номер варианта из табл. 8 по способу, указанному на с. 148. Далее следовать указаниям к лабораторной работе № 3 на с. 148–150.

Лабораторная работа № 4. Моделирование стационарных гауссовских случайных процессов методом канонических разложений в пакете Mathcad

Рассмотрим случайный процесс с ковариационной функцией Kξ(τ)= Dxe−α τ cosβτ и математическим ожиданием M [ξ(t)]= 0 .

Составим программу моделирования этого стационарного процесса по формулам п. 4.4.5. Сначала определим функцию

Sξ(ω), представив cosβτ в комплексной форме:

cosβτ = eiβτ + eiβτ

, Kξ(τ)=

Dx

(e−α

 

τ

 

+iβτ + e−α

 

τ

 

iβτ ).

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда Sξ(ω)=

1

Kξ(τ)eiωτdτ =

1

Kξ(τ)eiωτdτ в силу чётности

 

 

 

2π −∞

 

π 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подынтегральной функции. Далее

158

Sξ (ω)= Dx Re (e−α τ +iβτ + e−α τ −iβτ )eiωτdτ =

2π 0

=

 

Dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

Re

e−ατ+(β−ω)iτdτ + e

−ατ−(β+ω)iτdτ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

e−ατ+(β−ω)iτd (−α+ (β−ω)i)τ+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

=

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

−α+ (β−ω)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

e−ατ−(β+ω)iτd (−α−(β+ ω)i)τ =

 

 

 

 

−α−(β+ ω)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

−ατ+(β−ω)iτ

 

 

e

−ατ−(β+ω)iτ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Dx Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

−α+ (β−ω)i

 

 

−α−(β+ ω)i

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

α+ (β−ω)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Dx

 

 

 

=

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

Re

 

 

+

 

 

2π

 

 

 

 

α−(β−ω)i

 

 

α+ (β+ ω)i

 

2π

 

 

 

α2 + (β−ω)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α − (β + ω)i

 

 

 

 

 

Dx

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(β − ω)i

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

α2 + (β + ω)2

 

 

 

2π

 

α2 + (β − ω)2

α2

+ (β − ω)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(β + ω)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2 + (β + ω)2

 

α2 +

(β + ω)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Dx

 

α3 + α(β + ω)2

+ α3 + α(β − ω)2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2π

[α2 + (β − ω)2 ][α2 + (β + ω)2

]

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Dx α

 

 

 

 

 

 

 

 

α2 2 + ω2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

[α2 + (β − ω)2

][α2 + (β + ω)2 ]

 

 

 

 

 

 

 

По известной функцииSξ(ω) могут быть вычислены значения дисперсий Dk по формулам (4.26). Однако вначале нужно выбрать значение TП . Так как ковариационная функция процесса (4.23)

равна: Kξ(τ)= Dk coskωτ , то она не должна значимо отличаться

k =0

от исходной ковариационной функции Kξ(τ)= Dxe−α τ cosβτ .

159

Зададим численные значения, определяющие вид

Kξ(τ). Пусть

Dx = 5,α =1.1,

β =1,5 . Обратим теперь внимание на график кова-

риационной функции (рис. 4.5). Видно, что при

 

τ

 

>10 Kξ(τ)

 

 

стремится

к

нулю.

Выберем

поэтому

 

 

 

интервал

[TП ,TП ]= [10,10]. Так как спр аведлива формула ω=

2π

=

π ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TП

5

то частоты в формулах (4.26) также определены.

Рис. 4.5. График ковариационной функции

Оценим теперь число членов в формуле (4.23), т.е. величину константы M . По рис. 4.5 примем ωВ =10 , тогда M = ω2πВ TП = = 102π 10 = 50π 17 (следует выбрать нечетное число из-за симмет-

ричности функций Kξ(τ) и Sξ(ω)). Таким образом, для моделиро-

вания стационарного гауссовского случайного процесса ξ(t) по формуле (4.28) необходимо иметь два массива нормальных случай-

160

ных величин uk

и vk с параметрами uk ,vk N(0, Dk ), где значения

 

 

 

D

=

 

π

S

 

(0),

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

дисперсий определяются по формулам

0

20

 

 

а

Sξ(0) и,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

Dk

= 10 Sξ(kω),

 

 

следовательно,

D0 будут соответствовать индексу k = 9 , значения

Dk – индексам k =1÷8,k =10 ÷17 (рис. 4.6).

 

 

 

 

Рис. 4.6. График функции спектральной плотности мощности

Параметр t в формуле (4.28) берётся из интервала [TП ,TП ].

Разобьем этот отрезок на интервалы длиной t =1. Получится 21 точка по оси времени, т.е. t : 10,9,...,1,0,1,...,9,10 , так же как и в

лабораторной работе № 3. Теперь все параметры и константы моделирования определены, сама же программа в пакете Mathcad может выглядеть следующим образом:

161

t =

162

163

164

Проведём теперь моделирование того же процесса по формуле (4.29). Оно не имеет никаких преимуществ по сравнению с только что проведённым моделированием по формуле (4.28): для запуска

обеих формул необходимы массивы двух случайных величин: uk и vk N (0, Dk ) в первом случае (формула (4.28)), Ak , распределённую по закону Рэлея, и ϕk R(− π,π) во втором случае (фор-

мула (4.29)). Заметим ещё раз, что моделирование по формуле (4.29) возможно лишь при условии нормальности случайного про-

цесса ξ(t).

Непрерывное распределение Рэлея однопараметрическое и имеет следующую функцию плотности вероятности:

f (x)=

x

e

x2

2a2

a2

 

 

 

, x > 0 , где a – параметр масштаба и мода распре-

x2

деления. Функция распределения F(x)=1e 2a2 . Выведем фор-

мулу моделирования распределения Рэлея методом обратной функции [23]:

F(x)=1e

x2

e

x2

 

 

 

 

 

= γ, γ R(0,1),

 

= γ1, γ1 =1− γ, γ1 R(0,1),

2a2

2a2

x2

= ln γ1, x2 = −2a2 ln γ1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = a

 

2ln γ1

.

 

 

(4.31)

 

В нашем случае параметр a2 = 2D , т.е.

a =

 

 

(см. фор-

 

2D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

мулу

(4.29)). Таким образом, параметр Ak

будет определяться

формулой (4.31), а параметры ϕk и γ1 можно смоделировать

стандартными программами Mathcada – runif или rnd. Продолжение программы Mathcada :

В массиве A – случайные величины Ak , распределённые по Рэлею, в массиве φ – равномерно распределённые случайные величины ϕk R(− π,π).

165

166

167

Наконец оценим величину методической погрешности, допущенной при моделировании о формулам (4.28)-(4.30). Это можно

сделать,

например,

из

условия

1

 

 

Dk2 < ε. Заменим

Dk2 на

 

 

 

Kξ(0)k=M +1

 

 

k=M +1

100

2 Dk2 , при t > 0 в силу чётности функ-

k=M +1

ции спектральной плотности мощности и выберем t [0,20]. Тогда

168

Задание. Выбрать вариант задания из табл. 9 таким же образом, как в лабораторной работе № 3, считая математическое ожидание всех процессов равным нулю. В табл. 9 задана не только ковариационная функция, но и соответствующая ей функция спектральной плотности, поэтому подготовительную работу, связан-

ную с вычислением Sξ(ω), следует опустить.

Прежде всего нужно построить графики обеих функций Kξ(τ)

иSξ(ω) и по этим графикам определить пределы изменения τ и

ω, при которых Kξ(τ)0 , Sξ(ω)0 , тем самым выбрав величины TП ,ωВ и M . Все приведённые в табл. 9 функции Kξ(τ) и Sξ(ω) чётные, поэтому следует выбрать интервал времени, сим-

метричный относительно точки t = 0 , оставив при этом 21 отсчёт для каждой реализации моделируемого случайного процесса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kξ (τ)

 

 

 

Sξ (ω)

 

 

 

 

Параметры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функций

вари-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kξ (τ) и Sξ (ω)

анта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

De

−α

 

 

τ

 

,α > 0

 

 

 

D

 

α

 

 

 

 

D = 7,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0.325

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2 + ω2

 

 

2

De

−α

 

 

τ

 

 

(cosβτ +

Dα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =1.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π ×

2(α

 

 

 

 

)

 

 

α = 0.75,

 

+

α

sinβ

 

 

τ

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

β = 0.55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω2

+ α2 −β2 )+ 4α2β2

 

 

 

α,β > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

De−α τ (cosβτ −

Dα ×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = 8,

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

2ω

2

 

 

 

 

α = 0.625,

 

sinβ

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β = 0.385,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω2

+ α2 2 )4α2β2

 

TП =10,

 

α,β > 0,α ≥ β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωВ =10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

169

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение табл. 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kξ (τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sξ (ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры

вари-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функций

анта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kξ (τ)и Sξ (ω)

4

De−α

 

 

 

τ

 

 

(chβτ +

Dα

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

2(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

α = 0.65,

 

+

β

 

shβ

τ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

β = 0.25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

−β

 

 

 

 

 

 

 

 

α,β > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

[(α −β)2 + ω2 ][(α +β)2 + ω2

]

 

 

5

D(1

 

τ

 

)(11

 

 

τ

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

D = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

sin(ω 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1(x) – единич-

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

ω 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ная функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

De−α

 

τ

 

(1+ α

 

τ

 

),

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2α2

 

 

 

 

 

 

 

 

D = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0.5

 

α > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π (α2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ω2 )

 

 

 

7

De−α

 

τ

 

(1

 

 

 

τ

 

 

+

 

 

 

Dα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α4

 

 

 

 

 

 

 

D = 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

α = 0.65

 

 

 

α

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 3(α2 2 )

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α >

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

De−α

 

τ

 

(1+ α

 

 

τ

 

 

+

 

 

 

Dα

 

 

 

16α3ω4

 

D = 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0.725

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

α

3

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

π (α2 + ω2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2ατ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

De

(ατ)3

,α >

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

2

 

D = 2.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0.285

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

D

sin ατ

 

,α >

0

 

 

 

 

 

D

,

 

ω

 

≤ α,

 

D = 9,

 

 

 

 

 

ατ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0.995

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

ω

 

> α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

De−α2τ2 ,α > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

 

 

D = 2.5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4α2

 

α = 0.725

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

170