
- •1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •1.1. Случайные процессы. Основные определения
- •1.2. Элементарная классификация случайных процессов
- •1.3. Конечномерные распределения случайного процесса
- •1.4. Моментные функции случайного процесса
- •2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •2.1. Стационарные случайные процессы
- •2.2. Спектральное разложение стационарного случайного процесса и преобразование Фурье. Спектральная плотность
- •2.3. Нормальные случайные процессы
- •2.4. Абсолютно случайный процесс (белый шум)
- •2.5. Пуассоновские процессы, потоки событий
- •2.6. Потоки Эрланга и Пальма
- •2.7. Марковские процессы (дискретные состояния, дискретное время)
- •2.8. Марковские процессы (дискретные состояния, непрерывное время)
- •3.1. Действительная форма спектрального разложения стационарного случайного процесса
- •3.2. Комплексная форма спектрального разложения стационарного случайного процесса
- •3.5. Преобразование стационарного случайного сигнала линейной стационарной непрерывной системой
- •Лабораторная работа №1. Анализ линейной стационарной непрерывной системы в пакете Matlab
- •Лабораторная работа № 1. Анализ линейной стационарной непрерывной системы в пакете Mathcad
- •Лабораторная работа № 2. Вычисление дисперсии выходного сигнала линейной стационарной непрерывной системы при случайном воздействии в пакете Mathcad
- •Лабораторная работа № 2. Вычисление дисперсии выходного сигнала линейной стационарной непрерывной системы при случайном воздействии в пакете Matlab
- •4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •4.1. Общая характеристика методов моделирования случайных процессов
- •4.2. Метод условных распределений
- •4.3. Метод отбора (Неймана)
- •4.4. Моделирование случайных процессов с заданными корреляционными свойствами
- •4.5. Параметры некоторых алгоритмов моделирования стационарных процессов с типовыми ковариационными функциями
- •Лабораторная работа № 4. Моделирование стационарных гауссовских случайных процессов методом канонических разложений в пакете Mathcad
- •Лабораторная работа № 4. Моделирование стационарных гауссовских случайных процессов методом канонических разложений в пакете Matlab
- •Лабораторная работа № 5. Моделирование дискретных однородных марковских цепей в пакете Mathcad
- •Лабораторная работа № 6. Моделирование случайных процессов методом отбора в пакете Mathcad
- •Лабораторная работа № 6. Моделирование случайных процессов методом отбора в пакете Matlab
- •Лабораторная работа № 7 (факультатив). Моделирование случайных процессов методом условных распределений в пакете Mathcad
- •Библиографический список
- •ОГЛАВЛЕНИЕ

Задание. Выбрать номер варианта из табл. 8 по способу, указанному на с. 148. Далее следовать указаниям к лабораторной работе № 3 на с. 148–150.
Лабораторная работа № 4. Моделирование стационарных гауссовских случайных процессов методом канонических разложений в пакете Mathcad
Рассмотрим случайный процесс с ковариационной функцией Kξ(τ)= Dxe−α τ cosβτ и математическим ожиданием M [ξ(t)]= 0 .
Составим программу моделирования этого стационарного процесса по формулам п. 4.4.5. Сначала определим функцию
Sξ(ω), представив cosβτ в комплексной форме:
cosβτ = eiβτ + e−iβτ |
, Kξ(τ)= |
Dx |
(e−α |
|
τ |
|
+iβτ + e−α |
|
τ |
|
−iβτ ). |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда Sξ(ω)= |
1 |
∞∫Kξ(τ)e−iωτdτ = |
1 |
∞∫Kξ(τ)e−iωτdτ в силу чётности |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
2π −∞ |
|
π 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подынтегральной функции. Далее
158

Sξ (ω)= Dx Re ∞∫(e−α τ +iβτ + e−α τ −iβτ )e−iωτdτ =
2π 0
= |
|
Dx |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2π |
Re |
∫e−ατ+(β−ω)iτdτ + ∫e |
−ατ−(β+ω)iτdτ = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
e−ατ+(β−ω)iτd (−α+ (β−ω)i)τ+ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2π |
|
−α+ (β−ω)i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0∫ |
e−ατ−(β+ω)iτd (−α−(β+ ω)i)τ = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−α−(β+ ω)i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
−ατ+(β−ω)iτ |
|
∞ |
|
e |
−ατ−(β+ω)iτ |
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
Dx Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||
−α+ (β−ω)i |
|
|
−α−(β+ ω)i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
α+ (β−ω)i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Dx |
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
Re |
|
|
+ |
|||||
|
|
2π |
|
|
|
|
α−(β−ω)i |
|
|
α+ (β+ ω)i |
|
2π |
|
|
|
α2 + (β−ω)2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α − (β + ω)i |
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(β − ω)i |
|
|
||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|||
α2 + (β + ω)2 |
|
|
|
2π |
|
α2 + (β − ω)2 |
α2 |
+ (β − ω)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(β + ω)i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
α2 + (β + ω)2 |
|
α2 + |
(β + ω)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
Dx |
|
α3 + α(β + ω)2 |
+ α3 + α(β − ω)2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2π |
[α2 + (β − ω)2 ][α2 + (β + ω)2 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
Dx α |
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 +β2 + ω2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2π |
|
[α2 + (β − ω)2 |
][α2 + (β + ω)2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
По известной функцииSξ(ω) могут быть вычислены значения дисперсий Dk по формулам (4.26). Однако вначале нужно выбрать значение TП . Так как ковариационная функция процесса (4.23)
равна: Kξ(τ)= ∑∞ Dk coskωτ , то она не должна значимо отличаться
k =0
от исходной ковариационной функции Kξ(τ)= Dxe−α τ cosβτ .
159

Зададим численные значения, определяющие вид |
Kξ(τ). Пусть |
||||||||||
Dx = 5,α =1.1, |
β =1,5 . Обратим теперь внимание на график кова- |
||||||||||
риационной функции (рис. 4.5). Видно, что при |
|
τ |
|
>10 Kξ(τ) |
|||||||
|
|
||||||||||
стремится |
к |
нулю. |
Выберем |
поэтому |
|
|
|
интервал |
|||
[−TП ,TП ]= [−10,10]. Так как спр аведлива формула ω= |
2π |
= |
π , |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TП |
5 |
то частоты в формулах (4.26) также определены.
Рис. 4.5. График ковариационной функции
Оценим теперь число членов в формуле (4.23), т.е. величину константы M . По рис. 4.5 примем ωВ =10 , тогда M = ω2πВ TП = = 102π 10 = 50π ≈17 (следует выбрать нечетное число из-за симмет-
ричности функций Kξ(τ) и Sξ(ω)). Таким образом, для моделиро-
вания стационарного гауссовского случайного процесса ξ(t) по формуле (4.28) необходимо иметь два массива нормальных случай-
160

ных величин uk |
и vk с параметрами uk ,vk N(0, Dk ), где значения |
|||||||||||
|
|
|
D |
= |
|
π |
S |
|
(0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|||||
дисперсий определяются по формулам |
0 |
20 |
|
|
а |
Sξ(0) и, |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dk |
= 10 Sξ(kω), |
|
|
|||||||
следовательно, |
D0 будут соответствовать индексу k = 9 , значения |
|||||||||||
Dk – индексам k =1÷8,k =10 ÷17 (рис. 4.6). |
|
|
|
|
Рис. 4.6. График функции спектральной плотности мощности
Параметр t в формуле (4.28) берётся из интервала [−TП ,TП ].
Разобьем этот отрезок на интервалы длиной ∆t =1. Получится 21 точка по оси времени, т.е. t : −10,−9,...,−1,0,1,...,9,10 , так же как и в
лабораторной работе № 3. Теперь все параметры и константы моделирования определены, сама же программа в пакете Mathcad может выглядеть следующим образом:
161

t =
162

163

164

Проведём теперь моделирование того же процесса по формуле (4.29). Оно не имеет никаких преимуществ по сравнению с только что проведённым моделированием по формуле (4.28): для запуска
обеих формул необходимы массивы двух случайных величин: uk и vk N (0, Dk ) в первом случае (формула (4.28)), Ak , распределённую по закону Рэлея, и ϕk R(− π,π) во втором случае (фор-
мула (4.29)). Заметим ещё раз, что моделирование по формуле (4.29) возможно лишь при условии нормальности случайного про-
цесса ξ(t).
Непрерывное распределение Рэлея однопараметрическое и имеет следующую функцию плотности вероятности:
f (x)= |
x |
e− |
x2 |
|
2a2 |
||||
a2 |
||||
|
|
|
, x > 0 , где a – параметр масштаба и мода распре-
− x2
деления. Функция распределения F(x)=1−e 2a2 . Выведем фор-
мулу моделирования распределения Рэлея методом обратной функции [23]:
F(x)=1− e− |
x2 |
e− |
x2 |
|
|
|
|
||||||
|
= γ, γ R(0,1), |
|
= γ1, γ1 =1− γ, γ1 R(0,1), |
||||||||||
2a2 |
2a2 |
||||||||||||
− |
x2 |
= ln γ1, x2 = −2a2 ln γ1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a |
|
− 2ln γ1 |
. |
|
|
(4.31) |
|||
|
В нашем случае параметр a2 = 2D , т.е. |
a = |
|
|
(см. фор- |
||||||||
|
2D |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
мулу |
(4.29)). Таким образом, параметр Ak |
будет определяться |
формулой (4.31), а параметры ϕk и γ1 можно смоделировать
стандартными программами Mathcada – runif или rnd. Продолжение программы Mathcada :
В массиве A – случайные величины Ak , распределённые по Рэлею, в массиве φ – равномерно распределённые случайные величины ϕk R(− π,π).
165

166

167

Наконец оценим величину методической погрешности, допущенной при моделировании о формулам (4.28)-(4.30). Это можно
сделать, |
например, |
из |
условия |
|||
1 |
∞ |
|
|
∞ |
||
∑Dk2 < ε. Заменим |
∑Dk2 на |
|||||
|
|
|||||
|
Kξ(0)k=M +1 |
|
|
k=M +1 |
100
2 ∑Dk2 , при t > 0 в силу чётности функ-
k=M +1
ции спектральной плотности мощности и выберем t [0,20]. Тогда
168
Задание. Выбрать вариант задания из табл. 9 таким же образом, как в лабораторной работе № 3, считая математическое ожидание всех процессов равным нулю. В табл. 9 задана не только ковариационная функция, но и соответствующая ей функция спектральной плотности, поэтому подготовительную работу, связан-
ную с вычислением Sξ(ω), следует опустить.
Прежде всего нужно построить графики обеих функций Kξ(τ)
иSξ(ω) и по этим графикам определить пределы изменения τ и
ω, при которых Kξ(τ)→ 0 , Sξ(ω)→ 0 , тем самым выбрав величины TП ,ωВ и M . Все приведённые в табл. 9 функции Kξ(τ) и Sξ(ω) чётные, поэтому следует выбрать интервал времени, сим-
метричный относительно точки t = 0 , оставив при этом 21 отсчёт для каждой реализации моделируемого случайного процесса.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
Kξ (τ) |
|
|
|
Sξ (ω) |
|
|
|
|
Параметры |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций |
||||||||||||||||||||||
вари- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kξ (τ) и Sξ (ω) |
||||||||||||||||||||||
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
De |
−α |
|
|
τ |
|
,α > 0 |
|
|
|
D |
|
α |
|
|
|
|
D = 7, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 0.325 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 + ω2 |
|
|
|||||||
2 |
De |
−α |
|
|
τ |
|
|
(cosβτ + |
Dα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D =1.5, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π × |
2(α |
|
|
|
|
) |
|
|
α = 0.75, |
||||||||||||||
|
+ |
α |
sinβ |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
2 |
+β |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
β = 0.55 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ω2 |
+ α2 −β2 )+ 4α2β2 |
|
|
||||||||
|
α,β > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
De−α τ (cosβτ − |
Dα × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 8, |
|||||||||||||||||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
2ω |
2 |
|
|
|
|
α = 0.625, |
||||
|
− |
sinβ |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = 0.385, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ω2 |
+ α2 +β2 )− 4α2β2 |
|
TП =10, |
||||||||
|
α,β > 0,α ≥ β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωВ =10 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kξ (τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sξ (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вари- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций |
|
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kξ (τ)и Sξ (ω) |
|
4 |
De−α |
|
|
|
τ |
|
|
(chβτ + |
Dα |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 3, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
α = 0.65, |
|||||||||
|
+ |
β |
|
shβ |
τ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
β = 0.25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
−β |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
α,β > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
[(α −β)2 + ω2 ][(α +β)2 + ω2 |
] |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
D(1 − |
|
τ |
|
)(11 − |
|
|
τ |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
D = 5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
sin(ω 2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1(x) – единич- |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6 |
De−α |
|
τ |
|
(1+ α |
|
τ |
|
), |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 2, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 0.5 |
|
|
α > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ω2 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
De−α |
|
τ |
|
(1+α |
|
|
|
τ |
|
|
+ |
|
|
|
Dα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α4 |
|
|
|
|
|
|
|
D = 9, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
α = 0.65 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 3(α2 +ω2 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α > |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
De−α |
|
τ |
|
(1+ α |
|
|
τ |
|
|
+ |
|
|
|
Dα |
|
|
|
16α3ω4 |
|
D = 4, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 0.725 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
α |
3 |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π (α2 + ω2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ 2ατ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
De |
−(ατ)3 |
,α > |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
2 |
|
D = 2.5, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
α = 0.285 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2α |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10 |
|
D |
sin ατ |
|
,α > |
0 |
|
|
|
|
|
D |
, |
|
ω |
|
≤ α, |
|
D = 9, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ατ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 0.995 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
ω |
|
> α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 |
|
De−α2τ2 ,α > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
ω2 |
|
|
D = 2.5, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4α2 |
|
α = 0.725 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170