Глава II поверхности второго порядка

§ 11. Основная теорема о поверхностях второго порядка

Определение 2.1.Поверхностью второго порядка(ПВП) называ-

ется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

(2.1)

Аналогично, как и для случая кривых второго порядка, можно

показать, что величины

; ;

,,

являются инвариантами уравнения (2.1).

Тогда в зависимости от значений инвариантов, имеет место

следующая теорема.

Теорема 2.1.Для любой поверхности второго порядка сущест-

вует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(2.1) имеет один из следующих 17 видов:

1) эллипсоид:

41

2) мнимый эллипсоид:

+

3) однополостный гиперболоид:

4)двуполостный гиперболоид

5) конус:

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид: z=ах²+by²(а,Ь>О);

8) гиперболический параболоид: z=—ax²+by²{а,b>0);

9) эллиптический цилиндр:

10) мнимый эллиптический цилиндр:

11) гиперболический цилиндр:

42

12) параболический цилиндр: у²=2рх;

13) пара пересекающихся плоскостей:

14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:

15) пара параллельных плоскостей: у²=а²(а0)

16) пара мнимых параллельных плоскостей: у²+а²=О (аО);

17) пара совпадающих плоскостей: у²=О.

Уравнения 1)-17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка .

Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.

§ 12. Цилиндрические поверхности

Определение 2.2.Цилиндрической поверхностьюназывается

Рис. 15. Рис. 16.

43

множество параллельных прямых (образующих), проходящих через

все точки некоторой линии, называемой направляющей(рис. 15).

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в пря

моугольной системе координат OXYZ, что образующие этой поверх

ности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением

F(x,у) =0 (2.2)

(рис. 16).Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндри-

ческой поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,О). Так как точкиMи М₁лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точкиM, удовлетворяют уравнению F(x,у)=О.

Итак, уравнению (2.2) удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение F(x,у)=0

• искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая

является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=О, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

1. х²+y²=z²— прямой круговой цилиндр(рис. 17);

2)

- эллиптический цилиндр(рис. 18);

3)

-гиперболический цилиндр(рис. 19);

4) у²=2рх —параболический цилиндр(рис. 20).

44

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых

цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Рис. 17. Рис. 18.

Рис. 19. Рис. 20.