- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава I кривые второго порядка
- •§ 1. Парабола
- •§ 2. Эллипс
- •§ 3. Гипербола
- •§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы.
- •§ 5. Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •§ 6.Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •§ 7. Классификация кривых второго порядка (квп)
- •§8.Свойства определителей второго и третьего порядков
- •§ 9. Общая теория кривых второго порядка
- •§ 10. Инварианты кривой второго порядка
- •Глава II поверхности второго порядка
- •§ 11. Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •§ 12. Цилиндрические поверхности
- •§ 13. Конические поверхности
- •§ 14. Поверхности вращения
- •§ 15. Эллипсоид
- •§16. Гиперболоид.
- •§ 17. Параболоид
- •Глава 1. Кривые второго порядка
- •Глава II. Поверхности второго порядка
- •Гомельский государствееный университет
§8.Свойства определителей второго и третьего порядков
Будем рассматривать в дальнейшем только определители 3-го
порядка. Для определителей 2-го порядка все свойства аналогичны.
1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (операция транспонирования), т.е.
.
Действительно,
Δ =а1b2с3+b1с2а3+с1а2b3—с1b2а3—а1с2b3—b1a2c3. (*)
Δ'=а1b2с3+c1a2b3+b1с2а3+с1b2а3+а1с2b3+b1а2с3 . (**)
Сравнивая равенства (*) и (**), получаем, что Δ=Δ'.
2. При перестановке 2-х строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.
Доказательство проводится проверкой.
3. Если определитель имеет 2 одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, определитель Δ, очевидно не изменится. С другой стороны, по свойству 2
25
он изменит знак на противоположный. Следовательно, Δ= -Δ, т.е. Δ=О.
4. При умножении любой строки (столбца) определителя Δ на
некоторое число λ, определитель умножается на это число, т.е.,например,
.
Доказательство следует из того факта, что вычисляя определи-
тель А по правилу треугольника, получим, что каждое слагаемое содержит множитель A. Вынося этот множитель за скобку, получим в скобке определитель Δ.
5.Если элементы 2-х строк (столбцов) определителя пропорцио-
нальны, то определитель равен нулю.
Пусть
Тогда по свойству 4,
т.е. по свойству 3 Δ1= к 0 =0.
6. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя
представляют собой сумму 2-х слагаемых, то данный определитель равен сумме соответствующих определителей.
Пусть
26
Тогда
=
7. (Основное). Если к элементам некоторой строки (столбца)
определителя прибавить соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя не изменится.
Итак, например,
27
Доказательство следует из последовательного
свойств 6 и 5.
8. (О разложении определителя по элементам i-й строки или j-го столбца).
Пусть дан определитель применения
Тогда минором элемента aijопределителя Δ называется определитель Mijполученный из данного, вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Имеет место следующее равенство:
Δ=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+(-1)i+3ai3Mi3 (*)
(разложение по элементам i-й строки.)Докаэательство. Если i=2, то поменяем местами 2-ю и 1-ю строки. Получаем определитель Δ1,равный —Δ (свойство 2).
Если i=3, то поменяем вначале 3-ю строку со 2-й, а затем
полученную вторую с первой. Получим определитель Δ2, равный
Δ(свойство 2). Итак,
Аналогично,
28
.
Замечание. 1 При доказательстве разложения по элементам i-го столбца, предварительно протранспонируем определитель.
§ 9. Общая теория кривых второго порядка
Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка
в следующем виде:
(1.27)
Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее
уравнению (1.27).
Введем некоторые определения.
Группу слагаемых a11x2+2а21xy+а22у2назовемгруппой старших
членов.Группу слагаемых 2а13х+2а23у+а33назовем линейной частью уравнения (1.27).
Коэффициенты а11,a12, а22назовемкоэффициентами группы стар
ших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а13 , а23 ,а33—коэффициентами линейной части илилинейными коэффициентами . Отметим, что коэффициент а33также называетсясвободным членомуравнения (1.27).
Осуществим параллельный перенос системы координат ОХYв
точку 0'(х0,у0), Тогда, как известно, х=х'+х0, у=у'+у0и в
новой системе координат уравнение (1.27) примет вид:
Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении
29
(*) следующим образом:
(1.28)
Тогда уравнение (*) примет вид:
(1.29)
Вывод:при параллельном переносе системы координат, коэффи-
циенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (1 28).
Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.
х=х'соsφ-y'sinφ;
y=x'sinφ+y'cosφ;
Получим:
Тогда в новой системе координат, уравнение (1.27) примет вид:
где
30
, т.е.
a'13=a13cosφ+a23cosφ
a'23=a23cosφ-a13sinφ
a'33=a33 (1.30)
Вывод:старшие коэффициенты а'11, а'12и а'22 , выражаются только через уголφстаршие коэффициенты а11, а12и а22. Коэффициенты а'13и а'23выражаются только через угол φ и коэффициенты а13, а23. Коэффициенты а'33и а33равны.
Для упрощения равенств (1.30) введем следующие обозначения:
.
Тогда
,
если А0 . Введем угол α, где
,
31
Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a12=(1/2)(а11—а22).
Введем также угол β, считая
, ,
если С0 . Если же С=0, т.е. а13=а23=0, то β=0 .
Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде:
a'11=Азin(2φ+α)+В; а'12=Асоs(2φ+α);
a'22=—Азin(2φ+α)+В; a'13=Csin(φ+β); (1.31)
a'23= Ссоз(φ+β); а'33=а33.
Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.